∫つくときの符号変化
ヨシS 
2023/01/26(Thu) 16:38 No.52
「0＜a(n)＜e-1/n!を示せ（a(n)=1/n!×∫x^n×e^(1-x)dxとする）」という問題で、解説に
0≦x≦1において
0≦x^n≦1
0≦x^n×e^(1-x)≦e^(1-x)
等号が成り立つのはx=0,1のときであるから、（★）
0＜∫x^n×e^(1-x)dx【積分区間：0→1】＜∫e^(1-x)dx【積分区間：0→1】
とあるのですが、（★）からの説明の意味が理解できず、どうして∫がついた途端＜の＝が消えたのでしょうか🤔？ここのところは前から謎だったので詳しく教えていただきたいです🙇♂
ヨシS 2023/01/26(Thu) 16:38 No.52
Re: ∫つくときの符号変化
管理人 2023/01/27(Fri) 01:02 No.53
こんばんは。
分りやすくするために
f(x)=x^n×e^(1-x)
g(x)=e^(1-x)
とすると
0≦x≦1において
0≦f(x)≦g(x)
が成り立つということは、
g(x)の一部分がf(x)より大きいところがあるということですね。
このことは積分する(面積で考える)と、グラフが少しでも上にある方が面積が大きくなりませんか？
ですから等号が消えて常に∫g(x)dxが大きくなるのです。
f(x)≦g(x)は点で考えてますから等しいときもあれば、g(x)が大きいときもあるということで、積分(面積に)すると∫f(x)dxより∫g(x)dxが大きくなるということです。
以下のブログ記事の最後も参照ください。
https://mathtext.info/blog/2022/05/29/su3teisekifuto/
分りやすくするために
f(x)=x^n×e^(1-x)
g(x)=e^(1-x)
とすると
0≦x≦1において
0≦f(x)≦g(x)
が成り立つということは、
g(x)の一部分がf(x)より大きいところがあるということですね。
このことは積分する(面積で考える)と、グラフが少しでも上にある方が面積が大きくなりませんか？
ですから等号が消えて常に∫g(x)dxが大きくなるのです。
f(x)≦g(x)は点で考えてますから等しいときもあれば、g(x)が大きいときもあるということで、積分(面積に)すると∫f(x)dxより∫g(x)dxが大きくなるということです。
以下のブログ記事の最後も参照ください。
https://mathtext.info/blog/2022/05/29/su3teisekifuto/
管理人 2023/01/27(Fri) 01:02 No.53