高校数学：数III積分・定積分と不等式

こんにちは。今回は定積分と不等式について書いておきます。

定積分と不等式

定積分の比較として次の関係が成り立ちます。

定積分の比較

$f(x)\geqq g(x)$ 　 $(a\leqq x\leqq b)$ ならば,
$\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx\geqq\displaystyle\int^b_a g(x)\,dx$
等号が成り立つのは, $f(x)=g(x)$ 　 $(a\leqq x\leqq b)$ のときのみ

問題を見てみよう

【例】 $n$ は3以上の自然数とする。
(1)　 $0\leqq x\leqq 1$ のとき, $\dfrac{1}{1+x^2}\leqq\dfrac{1}{1+x^n}\leqq1$ を証明せよ。
(2)　 $\dfrac{\pi}{4}<\displaystyle\int^1_0\dfrac{dx}{1+x^n}<1$ を証明せよ。

【解答例】
(1)　 $0\leqq x\leqq 1$ で, $n$ は3以上の自然数であることから,
$0\leqq x^n\leqq x^2$ が成り立つ。この辺々に1を加えると,
$1\leqq 1+x^n\leqq 1+x^2$ となり, この逆数をとると,
$\dfrac{1}{1+x^2}\leqq \dfrac{1}{1+x^n}\leqq1$
となる。(証明終)
(2)　(1)の等号は常には成り立たないので, 辺々を区間 $0\leqq x\leqq1$ で積分すると,
$\displaystyle\int^1_0\dfrac{1}{1+x^2}\,dx<\displaystyle\int^1_0 \dfrac{1}{1+x^n}\,dx<\displaystyle\int^1_0\,dx$
となり,
$\displaystyle\int^1_0\,dx=1$
また,
$\displaystyle\int^1_0\dfrac{1}{1+x^2}\,dx$ で, $x=\tan\theta$ とおくと,
$\begin{array}{lllll}x&:&0&\to&1\\\theta&:&0&\to&\dfrac{\pi}{4}\end{array}$
で, $dx=\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta$ であるから,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^1_0\dfrac{1}{1+x^2}\,dx&=&\displaystyle\int^{\frac{\pi}{4}}_0\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta\\&=&\displaystyle\int^{\frac{\pi}{4}}_0\dfrac{1}{\dfrac{1}{\cos^2\theta}}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta\\&=&\displaystyle\int^{\frac{\pi}{4}}_0\,d\theta\\&=&\dfrac{\pi}{4}\end{array}$
以上から,
$\dfrac{\pi}{4}<\displaystyle\int^1_0 \dfrac{dx}{1+x^n}<1$
が成り立つ。(証明終)

等号は常には成り立たないとは

よく質問に挙がる「等号は常には成り立たないので」という意味は,
$f(x)\geqq g(x)$ で, 区間 $a\leqq x\leqq b$ において, 少しでも $f(x)>g(x)$ となる区間があれば, 区間 $a\leqq x\leqq b$ で $f(x)$ と $g(x)$ を積分した(面積を求めた)場合, 計算結果は必ず $f(x)$ の方( $f(x)$ の面積)が大きくなります。ですから, 積分計算時に等号がはずれるのです。