高校数学：数C複素数・ドモアブルの定理って便利

こんにちは。相城です。

前回複素数の積は回転という話をしましたが、その延長にあるドモアブルの定理をご紹介します。これ知っておくと三角関数の3倍角の定理が覚えなくても済む？のでご紹介します。意外と便利ですのでどうぞ。

どんな定理かというと以下のような定理です。

ドモアブルの定理： $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$

さて、これを証明するのは帰納法を使うといいですね。

ドモアブルの定理の証明
$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$ として、
$n=1$ のとき
$\cos\theta+i\sin\theta=\cos\theta+i\sin\theta$
で成り立つ。
$n=k$ のとき、
$(\cos\theta+i\sin\theta)^k=\cos k\theta+i\sin k\theta$ が成り立つとすると、
$n=k+1$ において
$\begin{array}{lll} &&(\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}\\ &=&(\cos\theta+i\sin\theta)^k(\cos\theta+i\sin\theta)\\ &=&(\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)\\ &=&\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta+i(\sin k\theta\cos\theta+\sin\theta\cos k\theta)\\ &=&\cos(k+1)\theta+i\sin(k+1)\theta \end{array}$
となり、 $n=k+1$ でも成り立つ。したがってすべての自然数 $n$ について成り立つ。
よって,
$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$

さて、初めに書いた3倍角の定理を覚えなくていいというのが、この定理で $n=3$ として展開するとどうでしょう。
ここで便宜上、ドモアブルの定理の左辺と右辺を入れ替えて展開するのですが、このとき、右辺の3乗の展開を一般的な展開公式を用いて展開します。以下にそれを示しています。

3倍角の公式の導出
$\begin{array}{lll} &&\cos 3\theta+i\sin 3\theta\\ &=&(\cos\theta+i\sin\theta)^3\\ &=&\cos^3\theta+3 i\cos^2\theta\sin\theta-3\cos\theta\sin^2\theta-i\sin^3\theta\\ &=&\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta) \end{array}$
このとき、左辺と右辺の実部と虚部は恒等的な関係なので、
$\begin{array}{lll} &&\cos 3\theta\\ &=&\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta\\ &=&\cos\theta(\cos^2\theta-3\sin^2\theta)\\ &=&\cos\theta\left\{\cos^2\theta-3(1-\cos^2\theta)\right\}\\ &=&4\cos^3\theta-3\cos\theta \end{array}$
$\begin{array}{lll} &&\sin 3\theta\\ &=&3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta\\ &=&\sin\theta(3\cos^2\theta-\sin^2\theta)\\ &=&\sin\theta\left\{3(1-\sin^2\theta)-\sin^2\theta\right\}\\ &=&3\sin\theta-4\sin^3\theta \end{array}$

このように、実数部と虚数部を比較することで、3倍角の公式が得られます。このことは、 $n$ を適当に決めることで $n$ 倍角の公式が得られることを意味します。いいでしょ？　2倍角の定理なんか試しに求めてもいいよね。
これ覚えとくと困ったときに便利というか覚える公式が減る。公式なんて覚えられる人が覚えればいいんですよ。現地調達でも時間足りるような勉強しよう。

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