こんにちは。相城です。TikZの挙動がおかしく、右往左往しながら勉強しております。慣れるまではしばらくTikZで更新してまいります。いまのところemathってやはりすごいなぁって改めて驚いております。emathとTikZが融合して世界標準になればいいのになと思っています。正直今のところ私が使う分にはemathで十分間に合います。それでは2019年度埼玉県の空間図形の問題をどうぞ。
下の図1のような、正方形ABCDを底面とし、OAOB
OC
ODの正四角錐OABCDがあります。頂点Oから底面の正方形ABCDに垂線をひき、底面の正方形ABCDとの交点をHとします。
このとき、次の各問いに答えなさい。
(1) △OHAと△OHBが合同であることを証明しなさい。
(2) 底面の正方形ABCDの1辺の長さが6cm、OAOB
OC
OD
6cmのとき、次の①、②に答えなさい。
① 線分OHの長さを求めなさい。
② 下の図2のように、正四角錐OABCDを3点O、B、Dを通る平面で切って、三角錐OBCDの辺OB上にOP2cmとなる点P、辺OD上にOQ
4cmとなる点Qをとります。辺OC上に点Rをとり、PR
RQの長さが最も短くなるとき、三角錐OPRQの体積を途中の説明も書いて求めなさい。
図1
図2
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仮定より, OA
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共通な辺より
OH
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正方形の対角線の長さは等しく, 対角線はそれぞれの中点で交わるので
AH
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①, ②, ③より3組の辺がそれぞれ等しいので
△OHA≡△OHB
*または∠OHA
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から直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいでも可
(2)
① △OHAで三平方の定理でOHを求める。
OA
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![Rendered by QuickLaTeX.com =6\sqrt{2}\div2=3\sqrt{2}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0344522f4a6419ff0730fa400903ae34_l3.png)
よってOH
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![Rendered by QuickLaTeX.com 3\sqrt{2}](https://mathtext.info/blog/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-517d2a29282012d997ce7e15983850f5_l3.png)
②
上図のように、線分PQが最短になるとき。
CDとPQを延長して交点をSとすると
△POQ∽△SDQで相似比が2 : 1(OQ : DQ)であるから
SD1となるのでCS
7となる。
このとき△POR∽SCRとなり, 相似比はPO:SC2 : 7なので
OR : CR2 : 7となる。
よって三角錐OPRQは三角錐OBCDの
倍
三角錐OBCDの体積は正四角錐OABCDのなので
三角錐OBCDの体積
求める体積はこれの倍。よって
よって三角錐OPRQ
cm
・・・答え