2020年度栃木県・一次関数の利用

こんにちは。相城です。2020年度栃木県の入試問題からです。一次関数の利用問題です、個人的にはいい問題だと思います。それではどうぞ。

明さんと拓也さんは、スタート地点からA地点までの水泳300m、A地点からB地点までの自転車6000m、B地点からゴール地点までの長距離走2100mで行うトライアスロンの大会に参加した。
下の図は、明さんと拓也さんが同時にスタートしてから $x$ 分後の、スタート地点からの道のりを $y$ ｍとし、明さんは、水泳、自転車、長距離走のすべての区間を、拓也さんは、水泳の区間と自転車の一部の区間を、それぞれグラフに表したものである。ただし、グラフで表した各区間の速さは一定とし、A地点、B地点における各種目の切り替えに要する時間は考えないものとする。
次の『　』内は、大会後の明さんと拓也さんの会話である。
『　
明　「今回の大会では、水泳が4分、自転車が12分、長距離走が10分かかったよ。」
拓也「僕はA地点の通過タイムが明さんより2分も遅れていたんだね。」
明　「次の種目の自転車はどうだったの。」
拓也「自転車の区間を見ると、2人のグラフは平行だから、僕の自転車がパンクするまでは明さんと同じ速さで走っていたことがわかるね。パンクの修理後は、速度を上げて走ったけれど、明さんには追いつけなかったよ。」
』

このとき、次の1、2、3、4の問いに答えなさい。
1　水泳の区間において、明さんが泳いだ速さは拓也さんが泳いだ速さの何倍か。
2　スタートしてから6分後における、明さんの道のりと拓也さんの道のりとの差は何mか。
3　明さんの長距離走の区間における、 $x$ と $y$ の関係を式で表しなさい。ただし、途中の計算も書くこと。
4　『　』の内の下線部について、拓也さんは、スタート地点から2700mの地点で自転車がパンクした。その場ですぐにパンクの修理を開始し、終了後、残りの自転車の区間を毎分600mの速さでB地点まで走った。さらに、B地点からゴール地点までの長距離走は10分かかり、明さんより3分遅くゴール地点に到着した。
このとき、拓也さんがパンクの修理にかかった時間は何分何秒か。

答え

1. 明さん300÷4＝75m/分、拓也さん300÷6＝50m/分
75÷50＝1.5倍もしくは $\dfrac{3}{2}$ 倍。
別解、速さの比は時間の比の逆比なので、
明4分、拓也6分で時間の比は2 : 3つまり、明と拓也の速さの比は3 : 2。
よって、3÷2＝ $\dfrac{3}{2}$ 倍
2. 明さんの自転車の速さは12分で6000m進むのだから、
6000÷12＝500m/分。これは拓也さんの自転車の速さでもある。
6分後、明さんは自転車で2分進んでいるから、水泳の距離と合わせて300＋500 $\times$ 2＝1300m、拓也さんは300m。よって、1300－300＝1000m
3. 2点( 16, 6300 )、( 26, 8400 )を通るので、求める直線の式を $y=ax+b$ として、この2点を代入し、連立方程式をつくると、

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} 16a + b = 6300 & \\ 26a + b = 8400 & \end{cases} \end{eqnarray*}$

これを解いて $a=210, b=2940$
よって求める直線の式は $y=210x+2940$
4. 拓也さんがゴールに着いたのはスタートしてから29分後、走るのに10分かかったので、自転車を降りたのは19分(29－10)。毎分600mで走った距離は6300－2700＝3600mなので、それにかかった時間は3600÷600＝6分。したがってパンクが直った時間はスタートしてから19－6＝13分後・・・①のことである。ここで拓也さんのパンクするまでの自転車の速さは毎分500mで、その速さで走ったのは2400m(2700－300)だから、それにかかった時間は2400÷500＝4.8分。このことから、パンクした時間はスタートしてから10.8分後(6＋4.8)・・・②。よって①と②の間パンクを修理していたことになる。よって、13ー10.8＝2.2分。つまり2分12秒(0.2分＝0.2 $\times$ 60＝12秒)。

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