TikZ：2020年度徳島県・平面図形(円)

こんにちは。相城です。さて2020年度3月10日に行われた徳島県の高校入試の問題からです。それではどうぞ。

2020年徳島県

下の図のように、半径が15cmの円Oの周上に4点A，B，C，Dがあり，AC=ADである。また，弦ACは $\angle{\text{BAD}}$ の二等分線であり，弦ACと弦BDの交点をEとする。(1)～(3)に答えなさい。ただし，円周率は $\pi$ とします。
(1) $\angle{\text{BAD}}=80^{\circ}$ のとき，(a)，(b)に答えなさい。
(a) $\angle{\text{ABD}}$ の大きさを求めなさい。
(b) 点Aを含まないおうぎ形OBCの面積を求めなさい。
(2) $\sankaku{ABC}\equiv\sankaku{AED}$ を証明しなさい。
(3) 点Cを含まない $\ko{AB}$ の長さが $8\pi$ cmのとき，点Bを含まない弧ADの長さを求めなさい。

答え

(1)
(a) $70^{\circ}$
$\angle{\text{BAD}}=80^{\circ}$ とする。CDを結ぶと△ACDが頂角 $40^{\circ}$ ，底角 $70^{\circ}$ の二等辺三角形になり， $\ko{AD}$ に対する円周角より， $\angle{\text{ACD}}=\angle{\text{ABD}}=70^{\circ}$
(b) $50\pi$ cm $^2$
$\angle{\text{BOC}}=2\angle{\text{BAC}}=80^{\circ}$
よって， $15\times15\times\pi\times\dfrac{80^{\circ}}{360^{\circ}}=50\pi$
$50\pi$ cm $^2$
(2)
△ABCと△AEDで，
仮定より
$\angle{\text{BAC}}=\angle{\text{EAD}}$ ・・・①
AC $=$ AD・・・②
$\ko{AB}$ に対する円周角は等しいので，
$\angle{\text{ACB}}=\angle{\text{ADE}}$ ・・・③
①、②、③より，1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
△ABC $\equiv$ △AED
(3) $\dfrac{38}{3}\pi$ cm
AとO、BとO、DとOを結ぶ。
中心角 $\angle{\text{AOB}}$ は
$360^{\circ}\times\dfrac{8\pi}{30\pi}=96^{\circ}$
このとき， $\angle{\text{OAB}}=\angle{\text{OBA}}=42^{\circ}$
△OAC $\equiv$ △OADとなり $\angle{\text{OAC}}=\angle{\text{OAD}}=\bullet$ とおくと， $\angle{\text{BAC}}=\angle{\text{CAD}}$ より， $\angle{\text{BAC}}=\bullet\bullet$ 。このとき， $\angle{\text{OAB}}=\angle{\text{BAC}}+\angle{\text{OAC}}=\bullet\bullet\bullet=42^{\circ}$ であるから， $\bullet=42^{\circ}\div3=14^{\circ}$ 。よって， $\angle{\text{AOD}}=180^{\circ}-14^{\circ}\times2=152^{\circ}$
ゆえに， $\ko{AD}=30\pi\times\dfrac{152^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{38}{3}\pi$
$\dfrac{38}{3}\pi$ cm

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