高校数学：交点を通る直線(束)・GeoGebra付

こんにちは。相城です。2直線の交点が存在するとき、その交点を通る直線は無数に存在します。それらを直線の束と呼びます。一般的には一変数 $k$ を用いて表されることが多いです。それには問題点があるのですが以下に例を示し、お話しします。円に関しては下部のリンクまたはこちらからどうぞ。
例：直線 $-3x+y+5=0$ と直線 $x+y+1=0$ の交点を通る直線で $(0, 0)$ を通るものを求めなさい。

一変数の場合の問題点

参考書などで見かける形は一般的には変数 $k$ を用いて、以下のように表されることが多いです。
$(-3x+y+5)+k(x+y+1)=0$ ・・・①
この直線が(0, 0)を通るので、それを代入すると、
$5+k=0$ 、 $k=-5$ となり、
$(-3x+y+5)-5(x+y+1)=0$
$y=-2x$ となります。
①の式で問題になるのは、2直線の交点 $(1, -2)$ を通る直線がすべて完全には表せないことに問題があるのです。実は表せない式というのが1つあって、実は $k$ の後ろにあるかっこの中の $x+y+1=0$ だけが表せません。実際 $x+y+1=0$ 上の座標を代入すると $k$ の係数が0となって、等式が成立しません。しかし、別にこれが表せなくても一意性は失われないということで、参考書などでは①の表記になっています。ですから、この解き方が間違っているというお話ではないので、ご理解いただけたらと存じます。

完全な形での表し方

では、完全な形での表現はどうかと申しますと、
$s(-3x+y+5)+t(x+y+1)=0$ ・・・②
という形です。これに①のときと同様(0, 0)を代入すると、
$5s+t=0$
これを満たす $(s, t)$ は無数に存在しますが、
$s : t=1 : -5$ なので、適当に値を決めるか、 $t=-5s$ として代入しても
$y=-2x$ が得られます。
ちなみに①、②式でもどちらでも $x$ の項が消えるように変数の値を決める $(k=3, s=1, t=3)$ と、 $y=-2$ と交点の $y$ 座標が求まる。同様に $y$ の項が消えるように変数の値を決める $(k=-1, s=1, t=-1)$ と、 $x=1$ と交点の $x$ 座標が求まる。

GeoGebraで動かしてみよう

以下にGeoGebraでアニメーションできるようにしています。ボックスに値を入れるとそのときの束が表されます。バーを動かしたりしてみてください。アニメーションしたいときは左下の▶ボタンを押してみてください。束の式は $s(-3x+y+5)+t(x+y+1)=0$ です。 $-20\leqq s\leqq20$ 、 $-20\leqq t\leqq20$ ですので、すべて表せていないと思いますが、イメージをつかんでくださればと思います。デフォルトは例題の答え $y=-2x$ に設定しています。

高校数学：2円の交点を通る図形(円束)・GeoGebra付

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