高校数学：恒等式の攻め方

こんにちは。相城です。さて、高校数学で恒等式って高2で出てくるんですが、それの解き方を2通りご紹介します。

まず、恒等式ってどんなものかというと、定数 $a$ 、 $b$ とし、
$ax+b=3x-5$ ・・・①
という等式があります。 $x$ どんなにどんな値を代入してもこの等式が成り立つというとき、この等式を恒等式と言います。

この定数 $a$ 、 $b$ の値を見つける方法に、係数比較法と数値代入法があります。

係数比較法

係数比較法はその名の通り、係数を比較して答えることで、①の左辺と右辺の係数を比較して、 $a=3$ 、 $b=-5$ となります。

数値代入法

上記の恒等式の説明にもあるように、どんな値を代入しても等式が成り立つのだから、両辺の $x$ に $x=0$ を代入すると、 $b=-5$ 、 $x=1$ を代入すると、 $a+b=-2$ 、 $b=-5$ より、 $a-5=-2$ 、 $a=3$ となり、 $a=3$ 、 $b=-5$ となります。

例題を1つ解いて終わりにしましょう。
例題　次の恒等式を満たす、定数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ を求めなさい。
$x^3+2x^2-3=(x^2+2x-1)(x-a)+bx-c$

係数比較法

右辺を展開すると
$x^3-ax^2+2x^2-2ax-x+a+bx-c$
$=x^3+(2-a)x^2+(-1-2a+b)x+a-c$
これを左辺の係数と比較すると、
$2-a=2$ ・・・①
$-1-2a+b=0$ ・・・②
$a-c=-3$ ・・・③
①より、 $a=0$ これと②、③より、 $b=1$ 、 $c=3$
よって、 $a=0$ 、 $b=1$ 、 $c=3$

数値代入法

未知数が3つあるので、 $x$ には異なる3つの数を代入し、最低3つの式をつくることが望ましい。代入する値は問題によるが計算しやすい値が好ましい。
$x=0$ とした場合
$a-c=-3$ ・・・①
$x=1$ とした場合
$0=2(1-a)+b-c$
$-2a+b-c=-2$ ・・・②
$x=-1$ とした場合
$-2=-2(-1-a)-b-c$
$2a-b-c=-4$ ・・・③
②＋③より、
$-2c=-6$ 、 $c=3$ これを①に代入し、 $a=0$ 、
$a=0$ 、 $c=3$ と②より $b=1$
よって、 $a=0$ 、 $b=1$ 、 $c=3$

コメントを残す コメントをキャンセル

コメントを残すコメントをキャンセル