中学数学：円の面積の公式が成り立つ理由

こんにちは。相城です。今回は円の面積についてみていきましょう。

円の面積の公式の何で？

何で円の面積は, 円の半径を $r$ とすると, (半径) $\times$ (半径) $\times\pi$ , つまり $\pi r^2$ なのでしょう。

円周は(直径) $\times\pi$ で, $2\pi r$ で求まります。これは決めごとですが, そもそも円周の長さが基ではなく, 円周率を
　(円周率) $=$ (円周) $\div$ (直径)
と決めたことから,
　(円周) $=$ (直径) $\times$ (円周率)
となったと解釈する方が正しいでしょう。

円周率とは円周が直径の何倍になるかを表したもので, 偉い人が調べて, 円周は直径の3.1415926 $\cdots$ 倍として,
小学校では円周率は約 $3.14$ として扱われています。中学校ではそれを厳密化するため $\pi$ としています。 $\pi\neq3.14$ で, $\pi=3.1415926\cdots$ です。間違えないように。
では, 面積はなぜ(半径) $\times$ (半径) $\times\pi$ で求まるのでしょうか。下に書いてみました。

円を6等分(中心角60 $^{\circ}$ )して, 互い違いに並べたのが図1です。平行四辺形っぽいですね。次に12等分(中心角 $30^{\circ}$ )して並べたのが図2です。最後に中心角を限りなく0 $^{\circ}$ にして並べていくと, その図形は長方形に近づいていきます。
このとき, その縦の長さは, 半径 $r$ で, 横の長さは, 円周 $2\pi r$ の $\dfrac12$ で, $\pi r$ である。