中学数学：連立方程式の解法研究

こんにちは。相城です。今回は連立方程式の解法を違った角度から検証しようということです。

定数項を消去する

連立方程式

$\begin{eqnarray*} \begin{cases}3x + 4y = 30&\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\\x - 2y = -10&\cdots\textcircled{\scriptsize 2} \end{cases} \end{eqnarray*}$

を解け。
このような連立方程式があった場合、
恐らく $x$ または $y$ の文字を1つ消去することを考えるでしょう。
それでいいのですが, ここでは定数項(数の部分)を消去してみましょう。
$\textcircled{\scriptsize 2} \times3$ より,
$3x-6y=-30\cdots\textcircled{\scriptsize 3}$
$\textcircled{\scriptsize 1}+\textcircled{\scriptsize 3}$ より,
$y=3x\cdots\textcircled{\scriptsize 4}$
これを $\textcircled{\scriptsize 1}$ に代入して,
$x=2$
$\textcircled{\scriptsize 4}$ より, $y=6$

$\begin{eqnarray*} \begin{cases}x = 2\\y = 6 \end{cases} \end{eqnarray*}$

考察

考えるに定数項を消去することによって, $x$ , $y$ の不定方程式になるが, その比( $x$ と $y$ の比)は明確にわかる。
この場合 $x : y=1 : 3$ ここで, $x=k$ , $y=3k\cdots\textcircled{\scriptsize 5}$ とおいて、再度 $\textcircled{\scriptsize 1}$ 式に代入すると,
$3k+12k=30$
$k=2$ となり, $\textcircled{\scriptsize 5}$ から $x=2$ , $y=6$ が得られる。

直線束(高校生の考え方)

高校生の範囲で直線束の考え方を用いる。
先の問題の連立方程式

$\begin{eqnarray*} \begin{cases}3x + 4y = 30&\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\\x - 2y = -10&\cdots\textcircled{\scriptsize 2} \end{cases} \end{eqnarray*}$

の $\textcircled{\scriptsize 1}$ , $\textcircled{\scriptsize 2}$ の形を変えると

$\begin{eqnarray*} \begin{cases}3x + 4y -30 = 0&\cdots\textcircled{\scriptsize 1}'\\x - 2y +10 = 0&\cdots\textcircled{\scriptsize 2}' \end{cases} \end{eqnarray*}$