中学数学：今年の人数をx,yと置くとどうなるの？

こんにちは。相城です。今回は皆さん疑問に思ったことがあるかもしれません。連立方程式の増減の問題で, なんで今年の人数を $x$ , $y$ と置かないんだろうか？と。その疑問を見ていきましょう。

一般的な解法の裏側

問題：ある中学校で去年の生徒の人数は335人で, 今年は男子が5 $\%$ 減り, 女子が4 $\%$ 増えたので全体としては1人減った。
今年の男子と女子の人数を求めなさい。

よくありきたりな中学2年生で習う連立方程式の割合(増減)の文章問題である。
通常去年の男子の人数 $x$ 人, 去年の女子の人数を $y$ 人として, 次のような連立方程式を立てるのが定石である。
式1

$\begin{eqnarray*} \begin{cases}x + y = 335&\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\\0.95x + 1.04y = 334&\cdots\textcircled{\scriptsize 2}\end{cases} \end{eqnarray*}$

または,
式2

$\begin{eqnarray*} \begin{cases}x + y = 335&\cdots\textcircled{\scriptsize 3}\\-0.05x + 0.04y = -1&\cdots\textcircled{\scriptsize 4}\end{cases} \end{eqnarray*}$

このどちらを解いても $x=160$ , $y=175$ となり, 今年の人数は男子 $160\times 0.95=152$ (人), 今年の女子 $334-152=182$ (人)を得る。
答えを書くと、
今年の男子152人, 今年の女子182人 $\cdots$ (答)
ここで, 式1の $\textcircled{\scriptsize 2}$ と式2の $\textcircled{\scriptsize 4}$ は, どちらも同じ式であることは知っておかなければならない。
形が違うだけで, まったく同じ式である。以下にそれを書いてみた。
$0.95x+1.04y=334\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$ は次のように書ける。

$(1-0.05)x+(1+0.04)y=334$

展開して(かっこをはずして),

$x-0.05x+y+0.04y=334$

並べ替えると,

$-0.05x+0.04y+\underline{x+y}=334$

ここで, 下線部は式1の $\textcircled{\scriptsize 1}$ から335( $x+y=335\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$ より)と同じ(同値)である。
従って次のようになる。

$-0.05x+0.04y+335=334$

335を右辺へ移行して、整理すると,

$-0.05x+0.04y=-1$

となり, 式2の $\textcircled{\scriptsize 4}$ が得られた。
式1の $\textcircled{\scriptsize 2}$ は今年の男子の人数と, 今年の女子の人数を合計して何人になったかという式で,
式2の $\textcircled{\scriptsize 4}$ はというと, 単純に男子が何人減って, 女子が何人増えたか, そして結果として何人の増減だったのかという式である。

今年の人数をx, yとしてみると

では, 最後に面倒な小数の計算して今年の人数を出すぐらいなら,
何で今年の男子の人数を $x$ 人, 今年の女子の人数を $y$ 人としないのか, 納得いかない。
そういう方のために実際に今年の男子, 女子の人数をそれぞれ $x$ 人, $y$ 人としてやってみました。
(解)今年の男子 $x$ 人, 今年の女子 $y$ 人とおくと,
$x+y=334$
去年の男子は $\dfrac{x}{0.95}$ 人, 去年の女子は $\dfrac{y}{1.04}$ 人
これより,

$\dfrac{x}{0.95}+\dfrac{y}{1.04}=335$

これより求める式は,

$\begin{eqnarray*} \begin{cases}x + y = 334&\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\\\dfrac{x}{0.95}x + \dfrac{y}{1.04}y = 335&\cdots\textcircled{\scriptsize 2}\end{cases} \end{eqnarray*}$

なんか面倒みたいですね。ただ答えが出ることを確認するために, 最後まで力ずくで行きましょう。
$\textcircled{\scriptsize 2}$ の式の分母が小数なのが嫌なので, 両辺に $\dfrac{1}{100}$ をかけると

$\dfrac{x}{95}+\dfrac{y}{104}=\dfrac{335}{100}\cdots\textcircled{\scriptsize 3}$

両辺に $95\times104$ をかけると,

$104x+95y=33098\cdots\textcircled{\scriptsize 4}$

$\textcircled{\scriptsize 1}\times95$ より,

$95x+95y=31730\cdots\textcircled{\scriptsize 5}$

$\textcircled{\scriptsize 4}-\textcircled{\scriptsize 5}$ より,
$\begin{array}{rrrrrr}&104x&+&95y&=&33098\\-)&95x&+&95y&=&31730\\ \hline&9x& & &=&1368\end{array}$

$x=152$ , これを $\textcircled{\scriptsize 1}$ に代入して, $y=182$
よって,
今年の男子152人, 今年の女子182人 $\cdots$ (答)
この解法で, ポイントは $\textcircled{\scriptsize 2}$ の式でしょうね。結局式を作る過程で去年の人数を使うんだし, 今年の人数を $x$ , $y$ とおくと, 去年の人数が分数になってしまう。それだったら去年の人数を $x$ , $y$ とおいて, 今年の人数を求めた方が楽だってことでしょうね。
今年の人数を $x$ , $y$ とおいて答えが出ないわけではないです。面倒なだけなのです。

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