emath：中学数学：攻略・ねじれの位置発見法

こんにちは。相城です。今回はねじれの位置の発見法です。ねじれの位置って日常で見かける場面と言えば, 立体交差点みたいな道路とか線路ですかね。それではどうぞ。

例題

ねじれの位置の発見方法の基本パターン
例：図の立方体で, BCとねじれの位置にある辺を全て求めなさい。

攻略の手順

中1で必ず登場する問題である。
ねじれの位置とは, 同一平面上にない2直線の位置関係である。日常では立体交差点なんかが挙げられると思うのですが。
さて, ねじれの位置の発見方法はいたって簡単です。先の述べたように, 同一平面上にないのがねじれの位置なので, 同一平面上に あるものを消去していき, 残りをねじれの位置とします。以下手順です。例の文中は辺となっていますが, 以下直線と記してある場合があります。 ご了承を願います。
手順1：交わっている直線を消去
手順2：平行な直線を消去
手順１, 手順2で消去されず、残ったものがねじれの位置にある。
概ねこの手順で, ねじれの位置は発見できる。
では, 上の例を解いていきましょう。
手順1で交わっている直線を消去とあるが, 交わっているということは, ほとんどの場合, 対象となる直線のアルファベット1文字が含まれている。
例ではBCとねじれの位置にある～とあるので, BまたはCの文字が必ず1つ含まれる直線を消去する。(必ずそうとは限らないので注意。)
つまり, 手順1では, AB,DC,BF,CGが消去されます。
手順2では, BCに平行な直線が消去されます。つまり, AD,EH,FGが消去されます。 手順1, 2が終了したとき, 消去されていないのが, ねじれの位置にある直線です。 例の場合, 残ったのはAE,DH,EF,HGで, これらの辺がねじれの位置にあります。 よって, (答)辺AE,DH,EF,HG

こんな場合は気を付けよう

手順1で, 交わる場合でもアルファベットを含まない場合があります。例えば, 直方体を斜めに切断した立体などのねじれの位置を探す場合です。
下の図の場合, 例えば, 右の図の立体で, 辺BFとねじれの位置にある辺を全て求めなさい。と問題にあった場合, 手順1でBC,BA,FE,FGが消去され, 手順2でCGが消去される。残った辺がねじれの位置と言いたいところだが, ここで注意すべきはAEである。AEはBFを含む平面上にあるので, AEはBFとはねじれの位置にない。よって, ねじれの位置にある辺は, 辺HG,DC,DH,HE,DAになります。AEとBFは同一平面上にあります。AEとBFはねじれの位置ではありません。

こう考えるといいかも

最後に, これを書いていてふと思ったのですが, ねじれの位置にある辺を探すのに, 先ず対象の辺を含む平面の辺を全て消去したほうが, 早いんじゃないでしょうか。 例えば, このページの例をとってみると, BFが対象なので, BFを含む面ABFE, CBFGの辺を全て消去し, 手順に入っていけばよいのかな, なんて思ってみました。そっちの方がいい気がします。ご参考にしてください。

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