高校数学：分散と標準偏差などのお話

こんにちは。相城です。今回は分散と標準偏差のお話です。

平均

データ $x_1, x_2, x_3, \cdots x_n$ の平均を $\overline{x}$ とすると,
$\overline{x}=\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+x_3+\cdotsx_n\right)$

偏差とは

偏差は, 一言でいえば平均との差の値です。
データ $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n$ の平均値を $\overline{x}$ とするとき,
$x_1-\overline{x}, x_2-\overline{x}, x_3-\overline{x},\cdots, x_n-\overline{x}$
を平均値からの偏差といいます。

分散s^2

分散とはデータの散らばり度合いを表す値です。偏差ではデータと平均の違いを求めると正の数だったり, 負の数だったりするので, 平均との違いが $+100$ あったとしても, もう一方で平均との違いが $-100$ なら, そのまま加えると, 見かけ上, 違いが0になってしまいます。それでは都合が悪いので, 偏差を2乗して正負の符号を取りはらって計算します。
ですから, 分散 $s^2$ は, 偏差の2乗の平均値になります。したがって
$s^2=\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\}$
で求められます。
ちなみに, 平均をとるのは, 標本数が違っても対比できるようにするためです。
偏差が平均との差を表しているので,この値が小さければ平均に近い値が多く, 大きければ平均との差が大きい値のものが多いことになります。

また, 分散 $s^2$ の右辺を展開していくと,
$s^2=\dfrac{1}{n}\left\{\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)-2\overline{x}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)+n{\overline{x}}^2\right\}$
$=\dfrac{1}{n}\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)-2\overline{x}\cdot\underline{\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)}+{\overline{x}}^2$
$={\overline{x^2}}-\overline{x}^2$
※下線部は $\overline{x}$ と同値
としても分散は求められます。

標準偏差s

標準偏差 $s$ は分散の正の平方根であるから, 標準偏差の意味は分散と同じで, データの散らばり度合いを表します。分散はデータを2乗しているので, 例えばデータが長さ(単位m)なら, 2乗するので単位が面積の単位(m $^2$ )になってしまいます。それではちょっと都合が悪いので, 単位を元に戻す意味で, 分散の正の平方根をデータの散らばり度合いとして, 標準偏差を一般的に用います。
$s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\left\{\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\left(x_3-\overline{x}\right)^2+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right\}}$
または,
$s=\sqrt{{\overline{x^2}}-\overline{x}^2}$

具体的にやってみよう

5人のテスト結果1
45, 65, 60, 95, 85
平均 $\overline{x}$
$\overline{x}=\dfrac{1}{5}(45+65+60+95+85)=70$
分散 $s^2$
$s^2=\dfrac{1}{5}\{(45-70)^2+(65-70)^2+(60-70)^2+(95-70)^2+(85-70)^2\}$
$=\dfrac{1}{5}\cdot1600$
$=320$
もう一つの分散の公式を用いて求めてみると,
$\overline{x^2}=\dfrac{1}{5}(45^2+65^2+60^2+95^2+85^2)$
$=\dfrac{1}{5}\cdot26100$
$=5220$
$s^2=\overline{x^2}-\overline{x}^2$
$=5220-70^2$
$=320$
同じになりましたね。
したがって, 標準偏差 $s$ は,
$s=\sqrt{320}\fallingdotseq17.89$

因みに点数にばらつきがないように設定してみると
5人のテスト結果2
70, 70, 65, 70, 75
の場合, 結果だけ示すと
平均 $\overline{x}=70$
分散 $s^2=10$
標準偏差 $s=\sqrt{10}=3.16$
テスト結果1より分散, 標準偏差の値は小さくなっています。
このことは, テスト結果2のほうがテスト結果1に比べ, 平均点に近い点数が多く, ばらつきが少ないことを意味しています。

偏差値の計算

偏差値を求めてみよう
偏差値は平均との差に10をかけて, 標準偏差で割り, 50を足せば求まります。はじめに記したテスト結果1の5人の偏差値は以下です。
$(45-70)\times10\div\sqrt{320}+50\fallingdotseq36.02$
$(65-70)\times10\div\sqrt{320}+50\fallingdotseq47.20$
$(60-70)\times10\div\sqrt{320}+50\fallingdotseq44.41$
$(95-70)\times10\div\sqrt{320}+50\fallingdotseq63.98$
$(85-70)\times10\div\sqrt{320}+50\fallingdotseq58.39$
平均との差なので, 平均点と同じであれば偏差値はちょうど50になりますね。

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