TikZ：高校数学：正弦定理とその証明

こんにちは。相城です。今回は正弦定理について書いておきます。

正弦定理とは

正弦定理

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△ABCのBC $=a$ , CA $=b$ , AB $=c$ , △ABCの外接円の半径を $R$ とするとき,
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
が成り立つ。これを正弦定理という。

正弦定理の証明

パターン1: $\theta$ が鋭角の場合(△ABCが鋭角三角形)

BA $'$ が円Oの直径2Rとなるように円周上にA $'$ をとると, 円周角の定理より, $\angle{\text{BAC}}=\angle{\text{BA}'\text{C}}$ であり, $\angle{\text{BCA}'}=90^{\circ}$ となる。このとき, BA $'=2R$ , BC $=a$ なので, △A $'$ BCに三角比を用いると,
$\sin A'=\dfrac{a}{2R}$
これから
$\dfrac{a}{\sin A'}=2R$
$A=A'$ なので
$\dfrac{a}{\sin A}=2R$
$\kaku{B}$ , $\kaku{C}$ についても同様のことが言えるので,
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
が成り立つ。

パターン2: $\theta$ が鈍角の場合(△ABCが鈍角三角形)

$\theta$ が鈍角の場合, BDが円Oの直径 $2R$ となるように, 円周上に点Dをとり, 円Oに内接する四角形ABDCをつくって考える。
このとき, 円に内接する四角形の内角の関係より, $\angle{\text{BAC}}=\theta$ とすると, $\angle{\text{BDC}}=180^{\circ}-\theta$ である。また, 円周角の定理より, $\angle{\text{BCD}}=90^{\circ}$ となる。このとき, BD $=2R$ , BC $=a$ なので, △BDCに三角比を用いると,
$\sin (180^{\circ}-\theta)=\dfrac{a}{2R}$
$\sin (180^{\circ}-\theta)=\sin\theta$ であるから,
$\sin\theta=\dfrac{a}{2R}$
よって,
$\dfrac{a}{\sin \theta}=2R$
$\theta=A$ なので,
$\dfrac{a}{\sin A}=2R$
$\kaku{B}$ , $\kaku{C}$ については鋭角なので, 前途したように成り立つことが知れているので,
$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$
が成り立つ。