高校数学：2次関数の平行移動②グラフの平行移動

こんにちは。相城です。今回は2次関数を実際に平行移動させていきましょう。仕組み的には頂点を移動させれば, グラフは平行移動しますのでそのあたりをみて, 最終的な解法にたどり着ければと思います。

具体例を見ていこう

具体的な数字で追っかけてから文字で置いていきますね。
先ずこの例題から。
$y=2(x-2)^2+3$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$ , $y$ 軸方向に $-2$ 平行移動した2次関数の式を求めなさい。
頂点は(2, 3)です。ですから, この頂点を $x$ 軸方向に $3$ , $y$ 軸方向に $-2$ 平行移動させれば解答を得ます。
したがって, 移動後の頂点は $(2+3, 3-2)=(5, 1)$
よって求める放物線の式は
$y=2(x-5)^2+1$
※ $(x-5)^2$ の前にある2を忘れたり, 数字を変えないようにね。グラフの形が変わってしまいます。
ただ, この方法では頂点が分かっていないとできません。しかし, 次に示す平行移動の考えを用いれば, その問題は解決できます。

平行移動させよう

この移動を $y=2(x-2)^2+3$ から直接得るには, 次のようにすればよい。
$x$ に $x-3$ を代入し, $y$ に $y+2$ を代入する。
$y+2=2\{(x-3)-2\}^2+3$
$y=2(x-5)^2+1\cdots$ 答

これが可能なのは, $y=f(x)$ のグラフ上の座標を $(x, y)$ とし, $x$ 軸方向に $m$ , $y$ 軸方向に $n$ 移動させた座標を $(X, Y)$ とると,
$X=x+m$ , $Y=y+n$ となり,
それぞれ, $x$ , $y$ について解くと,
$x=X-m$ , $y=Y-n$ となり, $y=f(x)$ に代入すると,
$Y-n=f(X-m)$
という式が得られるからです。

このことは $y=ax^2+bx+c$ という2次関数を $x$ 軸方向に $m$ , $y$ 軸方向に $n$ 平行移動させたいなら, 平方完成しなくても
$y-n=a(x-m)^2+b(x-m)+c$
とすればよいことがわかります。

例題をやってみよう

例題：関数 $y=x^2-3x+5$ を $x$ 軸方向に $-2$ , $y$ 軸方向に $3$ 平行移動させなさい。
解答：
$y-3=(x+2)^2-3(x+2)+5$
$y=x^2+4x+4-3x-6+8$
$=x^2+x+6$
$y=x^2+x+6\cdots$ 答

グラフの平行移動

関数 $y=f(x)$ を $x$ 軸方向に $m$ , $y$ 軸方向に $n$ 平行移動させた関数は
$y-n=f(x-m)$
で求まります。
例
直線： $y=ax+b\Rightarrow y-n=a(x-m)+b$
2次関数： $y=a(x-p)^2+q\Rightarrow y-n=a{(x-m)-p}^2+q$
円： $x^2+y^2=r^2\Rightarrow (x-m)^2+(y-n)^2=r^2$
など