TikZ：高校数学：内角の二等分線の比

2021年1月9日2021年8月7日

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こんにちは。相城です。今回は三角形の内角の二等分線の比について書いておきます。

内角の二等分線の比の公式

内角の二等分線の比の公式

三角形の $\angle A$ の二等分線AIの延長線と辺BCが交わる点をDとすると, 次の公式が成り立ちます。
AB : AC $=$ BD : DC

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証明はこちら

例題をやってみよう

実際問題をやってみよう。
下の図の△ABCにおいて内心をIとし, AIの延長線と辺BCとの交点をDとする。このとき, BDの長さと, AI : IDの比を求めなさい。

【解説】
内心Iは三角形の内角の二等分線の交点なので, 直線AIは $\angle A$ を二等分する。
したがって,
AB : AC $=$ BD : DC成り立つ。
AB : AC $=$ 8 : 5なので
BD : DC $=$ 8 : 5
よって,
BD $=\dfrac{8}{8+5}\times7=\dfrac{56}{13}$
BIもまた, $\angle{B}$ の二等分線なので,
AI : ID $=$ AB : BDが成り立つので,
AI : ID $=$ 8 : $\dfrac{56}{13}$ $=$ 13 : 7
よって, BD $=\dfrac{56}{13}$ , AI : ID $=$ 13 : 7

公式にしてみよう

公式化してみよう
AI : IDを公式化してみよう。Iは△ABCの内心, DはAIの延長線とBCとの交点

BD : DC $=$ $c$ : $b$
なので, BD $=a\times\dfrac{c}{b+c}$ より,
BD $=\dfrac{ac}{b+c}$
AI : ID $=$ AB : BDなので,
AI : ID $= c : \dfrac{ac}{b+c}$
$b+c$ をかけて, $c$ で割ると,
AI : ID $= (b+c) : a$
という公式が得られます。
実際上の例題で,
AI : ID $= (8+5) : 7 = 13 : 7$
となります。

AI : IDの公式

△ABC(BC $=a$ , CA $=b$ , AB $=c$ )の内心をIとし, 線分AIの延長線と辺BCとの交点をDとするとき,
AI : ID $= (b+c) : a$

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