TikZ：高校数学：円に内接する四角形(1つの内角が分かっているとき)

こんにちは。相城です。今回は円に内接する四角形の問題に取り組んでみたいと思います。四角形の1つの内角が分かる場合をやってみましょう。

例題をやってみよう

円に内接する四角形で, AB $=$ 2, BC $=$ 5, CD $=$ 3, $C=60^{\circ}$ のとき, 次のものを求めよ。
(1) $A$ の大きさ
(2) BDの長さ
(3) 四角形ABCDの面積 $S$

解説と解答

【解説】
(1) 円に内接する四角形の対角の和は180 $^{\circ}$ なので, $A=120^{\circ}$
(2) △BCDに余弦定理を用いると,
BD $^2=5^2+3^2-2\cdot5\cdot3\cdot\cos60^{\circ}$
$=25+9-2\cdot5\cdot3\cdot\dfrac12$
$=19$
$a>0$ なので,
BD $=\sqrt{19}$
(3) 四角形の面積は2つの三角形の面積の和として考えることが多い。
今回も, 四角形ABCDは△ABD $+$ △BCDで求める。
三角形の面積を求めるためには, 2辺とその間のその間の角が求まればよいので, (2)の結果を用いて, △ABDで余弦定理を用いて, ADを求める。
AD $=b$ とおくと,
$\sqrt{19}^2=2^2+b^2-2\cdot2\cdot b \cos120^{\circ}$
$19=4+b^2-2\cdot2\cdot b \left(-\dfrac12\right)$
$19=4+b^2+2b$
$b^2+2b-15=0$
$(b+5)(b-3)=0$
$b>0$ より,
$b=3$
よって, AD $=3$
したがって, △ABD, △BCDの面積は次のようになります。
△ABD $=\dfrac12\cdot2\cdot3\sin120^{\circ}=\dfrac{3\sqrt3}{2}$
△BCD $=\dfrac12\cdot5\cdot3\sin60^{\circ}=\dfrac{15\sqrt3}{4}$
よって, 四角形ABCDの面積 $S$ は,
$S=\dfrac{3\sqrt3}{2}+\dfrac{15\sqrt3}{4}=\dfrac{21\sqrt3}{4}$