こんにちは。相城です。今回は組合せについて書いておきます。
組合せについて
組合せとは
いくつかのものから, 一部を選んで, その順番や並びを無視した1つの組を組合せと言います。
異なる
個のものから異なる
個を取り出してつくる組合せのの総数を,
![Rendered by QuickLaTeX.com {}_n \mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n \mathrm{P}_r }{r!}=\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)(r-2)\cdots3\cdot2\cdot1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6deac01a9296f1575d4ab01ff1a781ff_l3.png)
として計算します。Cはコンビネーション(組合せ)の頭文字からきています。
また, この組合せのことを
個から
個取る組合せと言います。
異なる
個から
個取る組合せの総数は,
異なる
個から
個取る組合せと同じなので,
![Rendered by QuickLaTeX.com {}_n \mathrm{C}_r={}_n \mathrm{C}_{n-r}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4185a1ca9336fc5f61dfde71badf130d_l3.png)
が成り立つ。
【例】![Rendered by QuickLaTeX.com {}_{10} \mathrm{C}_7 = {}_{10} \mathrm{C}_3](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ae79225c61889621b761ccab67127fb1_l3.png)
異なる
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00037750e74b0d7083c69a4ad2043475_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com r](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f084bab73a0649c4c8913df82d77cc1b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {}_n \mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n \mathrm{P}_r }{r!}=\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)(r-2)\cdots3\cdot2\cdot1}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6deac01a9296f1575d4ab01ff1a781ff_l3.png)
として計算します。Cはコンビネーション(組合せ)の頭文字からきています。
また, この組合せのことを
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00037750e74b0d7083c69a4ad2043475_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com r](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f084bab73a0649c4c8913df82d77cc1b_l3.png)
異なる
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00037750e74b0d7083c69a4ad2043475_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com r](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f084bab73a0649c4c8913df82d77cc1b_l3.png)
異なる
![Rendered by QuickLaTeX.com n](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00037750e74b0d7083c69a4ad2043475_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com n-r](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8a78695487302de6c77c82eff155bc6_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com {}_n \mathrm{C}_r={}_n \mathrm{C}_{n-r}](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4185a1ca9336fc5f61dfde71badf130d_l3.png)
が成り立つ。
【例】
![Rendered by QuickLaTeX.com {}_{10} \mathrm{C}_7 = {}_{10} \mathrm{C}_3](https://mathtext.info/blog/wordpress/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ae79225c61889621b761ccab67127fb1_l3.png)
r!で割る意味
ちなみに上の公式ので, 順列の総数を
で割っています。これは, 順列では ( 1, 2 )を( 1, 2 ), ( 2, 1 )の2通りと区別していたのですが, 組み合わせでは, これらは( 1 , 2 )の1通りです。つまり2つ選んだときの順列のままでは,
通りのダブりができます。
もう少し実験してみると, ( 1, 2, 3 )のように3つ選ぶ場合, 順列では, ( 1, 2, 3 ), ( 1, 3, 2 ), ( 2, 1, 3 ), ( 2, 3, 1 ), ( 3, 1, 2 ), ( 3, 2, 1 )の6通りを区別しますが, 組合せではこれらは同じ組として扱うので, ( 1, 2, 3 )の1通りになります。つまり, 順列のままでは,
通りのダブりができてしまいます。
このように, 組合せでは, 異なる個から
個選んだ順列の総数
を, そのダブりの個数
で割って, 求めることになります。
例題
【例題】5人から2人選ぶ組み合わせの総数を求めなさい。
【解法】
10通り
【例題】9人から6人のグループをつくるとき, その選び方の総数を求めよ。
【解法】
84通り