高校数学：組合せについて

こんにちは。相城です。今回は組合せについて書いておきます。

組合せについて

組合せとは

いくつかのものから, 一部を選んで, その順番や並びを無視した1つの組を組合せと言います。
異なる $n$ 個のものから異なる $r$ 個を取り出してつくる組合せのの総数を,
${}_n \mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n \mathrm{P}_r }{r!}=\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r(r-1)(r-2)\cdots3\cdot2\cdot1}$
として計算します。Cはコンビネーション(組合せ)の頭文字からきています。
また, この組合せのことを $n$ 個から $r$ 個取る組合せと言います。
異なる $n$ 個から $r$ 個取る組合せの総数は,
異なる $n$ 個から $n-r$ 個取る組合せと同じなので,
${}_n \mathrm{C}_r={}_n \mathrm{C}_{n-r}$
が成り立つ。
【例】 ${}_{10} \mathrm{C}_7 = {}_{10} \mathrm{C}_3$

r!で割る意味

ちなみに上の公式ので, 順列 $( {}_n \mathrm{P}_r )$ の総数を $r!$ で割っています。これは, 順列では ( 1, 2 )を( 1, 2 ), ( 2, 1 )の2通りと区別していたのですが, 組み合わせでは, これらは( 1 , 2 )の1通りです。つまり2つ選んだときの順列のままでは, $2!$ 通りのダブりができます。
もう少し実験してみると, ( 1, 2, 3 )のように3つ選ぶ場合, 順列では, ( 1, 2, 3 ), ( 1, 3, 2 ), ( 2, 1, 3 ), ( 2, 3, 1 ), ( 3, 1, 2 ), ( 3, 2, 1 )の6通り $( 3! )$ を区別しますが, 組合せではこれらは同じ組として扱うので, ( 1, 2, 3 )の1通りになります。つまり, 順列のままでは, $3!$ 通りのダブりができてしまいます。
このように, 組合せでは, 異なる $n$ 個から $r$ 個選んだ順列の総数 $( {}_n \mathrm{P}_r )$ を, そのダブりの個数 $r!$ で割って, 求めることになります。