高校数学：11で割ると9余り, 5で割ると2余る3桁の自然数

こんにちは。相城です。さて, 今回は有名な整数問題をやってみましょう。きちんと解法をマスターしてくださいね。

例題

【例題】11で割ると9余り, 5で割ると2余る3桁の自然数のうち, 最小のものと最大のものを求めなさい。

解法のテクニック

【解法の道筋】求める自然数 $N$ を $11a+9$ , $5b+2$ と表し, この2つを等号で結び整数問題に帰着させるのがコツです。
【解法】求める自然数を $N$ とすると,
$N=11a+9$ , $N=5b+2\ (a, b$ は自然数 $)$ となり,
$11a+9=5b+2$ なので,
$11a-5b=-7\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$ となる。
ここで, $11a-5b=1$ となる $a, b$ の1つは $(a, b)=(1, 2)$ なので,
$11a-5b=-7$ となる $a, b$ の1つは $(a, b)=(-7, -14)$ である。
したがって,
$11\cdot(-7)-5\cdot(-14)=-7\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
$\textcircled{\scriptsize 1}-\textcircled{\scriptsize 2}$ より,
$11(a+7)-5(b+14)=0$
$11(a+7)=5(b+14)$
11と5は互いに素なので,
$a+7=5k$ , $b+14=11k\ (k$ は整数 $)$
これより,
$a=5k-7, b=11k-14$
$11a+9$ に $a=5k-7$ を代入し,
$11(5k-7)+9=55k-68$
求める自然数は3桁なので,
$100\leqq 55k-68\leqq 999$
これを解くと,
$3.05\cdots\leqq k \leqq 19.4$
よって最小の $k$ は4, 最大の $k$ は19となる。
$k=4$ のとき, $55\cdot4-68=152$
$k=19$ のとき, $55\cdot19-68=977$
したがって, 求める最小の自然数は152, 最大の自然数は977

例題

解法のテクニック

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