高校数学：数列・階差数列系の漸化式

こんにちは。相城です。今回は階差数列の漸化式について書いておきます。
今回の漸化式は等差数列の漸化式の発展版のようなものです。二項間の関係が数だけでなく式で表される場合のことになります。
一般的にこのことを
$a_{n+1}=a_n+f(x)$ とし, 一般項 $a_n$ は, $n\geqq2$ として
$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(x)$
で得られます。これで求めた一般項が $n=1$ のとき成り立つか考えて, 解答を得ます。※漸化式の $a_n$ の係数は1であることが前提になります。
仕組み的には以下のような感じです。

以下例題を見ながらやってみましょう。

例題を見てみよう

【例題】 $a_1=3$ , $a_{n+1}=a_n+2n-1$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。
【解法】 $a_{n+1}-a_n=2n-1$ なので, 二項間の数が $2n+1$ で表される数列になる。したがって, 一般項 $a_n$ は, $n\geqq2$ として
$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)$
$a_n=3+2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k-\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}1$
$a_n=3+2\cdot\dfrac12 (n-1)n-(n-1)$
$a_n=n^2-2n+4$
これは $n=1$ のときも成り立つ。
よって, $a_n=n^2-2n+4\cdots$ (答)

【例題】 $a_1=3$ , $a_{n+1}=a_n+6n^2+2n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。
【解法】前途した方法と同じく, 一般項 $a_n$ は, $n\geqq2$ として
$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(6k^2+2k)$
$a_n=3+6\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^2+2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k$
$a_n=3+6\cdot\dfrac16(n-1)n(2n-1)+2\cdot\dfrac12 (n-1)n$
$a_n=2n^3-2n+3$
これは $n=1$ のときも成り立つ。
よって, $a_n=2n^3-2n+3\cdots$ (答)

【例題】 $a_1=3$ , $a_{n+1}=a_n+n^3$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。
【解法】もう慣れてきましたか？思考的には何ら変わりありません。
一般項 $a_n$ は, $n\geqq2$ として
$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}k^3$
$a_n=3+\left\{\dfrac12 (n-1)n\right\}^2$
$a_n=\dfrac14\left\{n^2(n-1)^2+12\right\}$
$a_n=\dfrac14(n^4-2n^3+n^2+12)$
これは $n=1$ のときも成り立つ。
よって, $a_n=\dfrac14(n^4-2n^3+n^2+12)\cdots$ (答)

【例題】 $a_1=3$ , $a_{n+1}=a_n+2\cdot5^n$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。
【解法】これも二項間を表す数列が変わっただけで, 思考のロジックは同じです。
一般項 $a_n$ は, $n\geqq2$ として
$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2\cdot5^k$
$a_n=3+\dfrac{10(5^{n-1}-1)}{5-1}$
$a_n=3+\dfrac{5^n-5}{2}$
$a_n=\dfrac{5^n+1}{2}$
これは $n=1$ のときも成り立つ。
よって, $a_n=\dfrac{5^n+1}{2}\cdots$ (答)

等差数列のときも同様に求められるよ

【例題】 $a_1=3$ , $a_{n+1}=a_n+5$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。
【解法】等差数列の漸化式ですが, これも思考のロジックは同じで求められます。
一般項 $a_n$ は, $n\geqq2$ として
$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}5$
$a_n=3+5(n-1)$
$a_n=5n-2$
これは, $n=1$ のときも成り立つ。
$a_n=5n-2\cdots$ (答)

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