高校数学：数列・少し複雑な漸化式の変形

こんにちは。相城です。今回はやや複雑な漸化式の変形を書いておきます。早速例題を見ていきましょう。

例題を見てみよう

【例題】 $a_1=1, \ a_{n+1}=2a_n+n$ で定められる数列 $\{ a_n \}$ の一般項 $a_n$ を求めよ。
【解法】 $a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(a_n+\alpha n+\beta)\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$ と変形できるといいなぁって考えます。なぜなら, 等比系の漸化式に帰着するから。そこで, 与式の漸化式と $\textcircled{\scriptsize 1}$ は恒等な関係にあるので, 展開して, 係数比較を行います。
$a_{n+1}+\alpha n+\alpha+\beta=2a_n+2\alpha n+2\beta\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
$\textcircled{\scriptsize 2}$ の左辺の $a_{n+1}$ 以外の項を与式の漸化式の $n$ のある右辺に移項すると,
$a_{n+1}=2a_n+\alpha n+\beta-\alpha$ となり, これが, 与式の漸化式と一致するためには,
$\alpha n=n, \beta-\alpha=0$ が条件となり,
$\alpha=1, \beta=1$ となる。
これを $\textcircled{\scriptsize 1}$ に代入し, 与式の漸化式は次のように変形できる。
$a_{n+1}+(n+1)+1=2(a_n+n+1)\cdots\textcircled{\scriptsize 3}$
$b_n=a_n+n+1$ と置くと,
$b_n$ は初項 $b_1=a_1+1+1=3$ , 公比2の等比数列である。
$b_n=3\cdot2^{n-1}$
$b_n=a_n+n+1$ なので
$a_n+n+1=3\cdot2^{n-1}$
$a_n=3\cdot2^{n-1}-n-1\cdots$ (答)

流れをつかんでおこう

$a_{n+1}=\beta a_n+bn+c\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$

$a_{n+1}+p(n+1)+q=\beta(a_n+pn+q)\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$ と変形できるとする。
$\textcircled{\scriptsize 1}$ と $\textcircled{\scriptsize 2}$ が恒等な関係から $p, \ q$ を求める。
$a_{n+1}+p(n+1)+q=\beta(a_n+pn+q)$ で, $b_n=a_n+pn+q$ として, 初項 $b_1$ , 公比 $\beta$ の等比数列として $b_n$ を求める。
$b_n$ を $a_n+pn+q$ にして $a_n$ を求める。

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