emath：高校数学：3次関数の接線の本数を調べる

こんにちは。今回は3次関数の接線の本数を具体的に証明しておこうと思います。それではどうぞ。

例を見ていこう

【例題】3次関数 $f(x)=x^3-6x^2+9x$ の点 $( x, y )$ からの接線の本数を調べよ。

3本の接線が引ける場合

【解法】
接点を $(t, t^3-6t^2+9x)$ と置く。
$f(x)$ を微分し, 接線の方程式 $g(x)$ を求めると,
$g(x)=(3t^2-12t+9)(x-t)+t^3-6t^2+9t$
これが $( x, y )$ を通るので,
$y=(3t^2-12t+9)(x-t)+t^3-6t^2+9t$
展開し, $t$ について整理すると
$-2t^3+3(x+2)t^2-12tx+9x-y=0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
この $t$ についての3次方程式の実数解の個数が接線の本数を決めるので, $\textcircled{\scriptsize 1}$ の左辺を $h(t)$ とおいて, 極値を調べることにする。
$h(t)=-2t^3+3(x+2)t^2-12tx+9x-y\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$
$h(t)$ を $t$ で微分すると,
$h'(t)=-6t^2+6(x+2)t-12x$
$=-6\{t^2-(x+2)t+2x\}$
$=-6(t-2)(t-x)\cdots\textcircled{\scriptsize 3}$
このとき, $\textcircled{\scriptsize 2}$ が異なる3つの実数解を持つことは, $\textcircled{\scriptsize 2}$ が極値を持ち, 極値の符号が異なることが条件になる。つまり, $\textcircled{\scriptsize 3}$ において, $x\neq2$ かつ, (極大値) $\times$ (極小値) $<0$ であればよい。
$\textcircled{\scriptsize 3}$ から, 極値をとる値は $t=2, x$ で, 極値 $h(2), h(x)$ を求めると,
$h(2)=-16+12(x+2)-24x+9x-y$
$=-3x+8-y$
$h(x)=-2x^3+3(x+2)x^2-12x^2+9x-y$
$=x^3-6x^2+9x-y$
となる。
$h(2)\cdot h(x)<0$ より,
$(-3x+8-y)(x^3-6x^2+9x-y)<0$ となり,
$-3x+8-y>0$ かつ, $x^3-6x^2+9x-y<0$
$y<-3x+8$ かつ, $y>x^3-6x^2+9x$
または,
$-3x+8-y<0$ かつ, $x^3-6x^2+9x-y>0$
$y>-3x+8$ かつ, $y<x^3-6x^2+9x$
を満たす領域において, $h(t)$ は異なる3つの実数解を持つことになる。
このとき, 直線 $y=-3x+8$ は3次関数 $y=x^3-6x^2+9x$ の変曲点(2, 2)における接線である。
したがって, 接線が3本引ける領域を図示すると以下の黄色の領域で, 境界線は含まない。

2本の接線が引ける場合

接線が2本引ける場合は, $h(t)$ が極値を持ち, 極大値または極小値が0になればよいので, $\textcircled{\scriptsize 3}$ で $x\neq2$ かつ, $h(2)=0$ , または, $h(x)=0$
このとき,
$-3x+8-y=0$ より, $y=-3x+8$
$x^3-6x^2+9x-y=0$ より, $y=x^3-6x^2+9x$
これを図示すると以下のようになる。(2, 2)は含まない。

接線が1本引ける場合

最後に接線が1本引ける場合は, $h(t)$ が極値を持たない場合か, 極値を持ったとしても極値の符号が同符号である場合, $h(t)$ は実数解を1つしか持たないことになるので, $x=2$ または, $h(2)\cdot h(x)>0$ が条件になる。
つまり,
$(-3x+8-y)(x^3-6x^2+9x-y)>0$ となり,
$-3x+8-y>0$ かつ, $x^3-6x^2+9x-y>0$
$y<-3x+8$ かつ, $y<x^3-6x^2+9x$
または,
$-3x+8-y<0$ かつ, $x^3-6x^2+9x-y<0$
$y>-3x+8$ かつ, $y>x^3-6x^2+9x$
を満たす領域において, $h(t)$ はただ1つの実数解を持つことになる。
したがって, 接線が1本引ける領域を図示すると以下の白の領域で, 点(2,2)以外の境界線は含まない。