高校数学：数列：確率と漸化式の演習①

こんにちは。今回は確率漸化式の問題です。

問題

【問】1個のサイコロを $n$ 回投げるとき, 3の倍数の目が奇数回出る確率を $P_n$ とする。 $P_n$ を $n$ の式で表せ。

解答・解説

確率漸化式は今回の場合ですと, $(n+1)$ 回目に奇数回になる確率を考えます。
このとき, $n$ 回目に3の倍数が奇数回出ている確率を $P_n$ とすると, $n$ 回目に偶数回(奇数回出ていない)出ている確率は $1-P_n$ となります。ここで, 3の倍数の出る確率は $\dfrac13$ , 3の倍数以外が出る確率は $\dfrac23$ であるから, $n+1$ 回目に奇数回となることを考えると, $n$ 回目が $P_n$ (3の倍数が奇数回)ではすでに奇数回出てるので, $n+1$ 回目では3の倍数以外が出ればいい。したがって, $n+1$ 回目の確率 $P_{n+1}$ は, $P_n\times\dfrac23=\dfrac23P_n\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$ , また, $n$ 回目が $1-P_n$ (3の倍数が偶数回)では, 次に3の倍数が出ればいいので, $n+1$ 回目の確率 $P_{n+1}$ は, $\left(1-P_n\right)\times\dfrac13=\dfrac13\left(1-P_n)\right\cdots\textcircled{\scriptsize 2}$ となる。

確率 $P_{n+1}$ は $\textcircled{\scriptsize 1}$ と $\textcircled{\scriptsize 2}$ の和なので,
$P_{n+1}=\dfrac23P_n+\dfrac13\left(1-P_n\right)$
$P_{n+1}=\dfrac13P_n+\dfrac13\cdots\textcircled{\scriptsize 3}$
これが,
$P_{n+1}+\alpha=\dfrac13\left(P_n+\alpha\right)\cdots\textcircled{\scriptsize 4}$
と変形できることから,
$P_{n+1}=\dfrac13P_n-\dfrac23\alpha\cdots\textcircled{\scriptsize 5}$
$\textcircled{\scriptsize 3}$ , $\textcircled{\scriptsize 5}$ は恒等的な関係より
$\dfrac13=-\dfrac23\alpha$
$\alpha=-\dfrac12$
よって $\textcircled{\scriptsize 4}$ は
$P_{n+1}-\dfrac12=\dfrac13\left(P_n-\dfrac12\right)$
また, $P_1$ は $\dfrac13$ なので
数列 $P_n-\dfrac12$ は初項 $P_1-\dfrac12=\dfrac13-\dfrac12=-\dfrac16$ , 公比 $\dfrac13$ の等比数列。
よって,
$P_n-\dfrac12=-\dfrac16\cdot\left(\dfrac13\right)^{n-1}$
したがって,
$P_n=-\dfrac16\left(\dfrac13\right)^{n-1}+\dfrac12$

問題

解答・解説

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