高校数学：複素数における式変形の例②軌跡の問題

こんにちは。今回は複素数の問題で式変形の例を見ていきます。例題を解きながら見ていきましょう。

zについて解き2乗していく

【例】2つの複素数 $\omega, z$ が, $\omega=\dfrac{2z-i}{z+i}$ を満たす。複素数平面上で, 点 $z$ が $|z|=2$ を満たすとき, 点 $\omega$ はどのような図形を描くか。また $\omega$ の絶対値 $|\omega|$ の最大値を求めよ。
【解法】
問題の等式を $z$ について解くことを考えます。
$\omega=\dfrac{2z-i}{z+i}$ から,
$(z+i)\omega=2z-i$
$z\omega+i\omega=2z-i$
$z(\omega-2)=-i(\omega+1)$
$\omega=2$ では等式は成り立たないので, $\omega\neq2$ であるから,
$z=\dfrac{-i(\omega+1)}{\omega-2}$
ここで両辺の絶対値をとると,
$\left|\dfrac{-i(\omega+1)}{\omega-2}\right|=|z|$
$|-i|\left|\dfrac{\omega+1}{\omega-2}\right|=2$
$\left|\dfrac{\omega+1}{\omega-2}\right|=2$
$|\omega+1|=2|\omega-2|$
両辺2乗すると
$|\omega+1|^2=2^2|\omega-2|^2$
$(\omega+1)(\overline{\omega}+1)=4(\omega-2)(\overline{\omega}-2)$
$\omega\overline{\omega}+\omega+\overline{\omega}+1=4\omega\overline{\omega}-8\omega-8\overline{\omega}+16$
$3\omega\overline{\omega}-9\omega-9\overline{\omega}+15=0$
両辺3で割って,
$\omega\overline{\omega}-3\omega-3\overline{\omega}+5=0$
因数分解の形に変形して
$(\omega-3)(\overline{\omega}-3)-9+5=0$
$|\omega-3|^2=4$
$|\omega-3|>0$ より,
$|\omega-3|=2$
よって, 点3を中心とする半径2の円である。
また, これを図示すると以下のようになり,