高校数学：数III積分・三角関数を用いた有名な置換積分

こんにちは。今回は三角関数を用いた有名な置換積分について書いておきます。

三角関数で置換

使う三角関数の公式は次の2つ。
$\bullet$ $a^2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)=a^2$
$\bullet$ $a^2(1+\tan^2\theta)=\dfrac{a^2}{\cos^2\theta}$
【パターン $\maru1$ 】
$\sqrt{a^2-x^2}$ の積分では, $x=a\sin\theta$ とおいて,
$\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}=\sqrt{a^2\cos^2\theta}=a\cos\theta$
として積分するとうまくいくことが多い。
【例】
$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx$
$x=2\sin\theta$ とおくと, $dx=2\cos\theta\,d\theta$
$x : 0\longrightarrow1$
$\theta : 0\longrightarrow\dfrac{\pi}{6}$
$\begin{array}{lll}&&\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\sqrt{4(1-\sin^2\theta)}}\cdot2\cos\theta\,d\theta\\&=&\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{2\cos\theta}{2\cos\theta}\,d\theta\\&=&\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\, d\theta\\&=&\dfrac{\pi}{6}\end{array}$

【パターン $\maru2$ 】
$\dfrac{1}{a^2+x^2}$ の積分では, $x=a\tan\theta$ とおいて,
$\dfrac{1}{a^2(1+\tan^2\theta)}=\dfrac{\cos^2\theta}{a^2}$
として積分するとうまくいくことが多い。
【例】
$\displaystyle\int_{0}^{\sqrt3}\dfrac{1}{1+x^2}\,dx$
$x=\tan\theta$ とおくと, $dx=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta$
$x : 0\longrightarrow\sqrt3$
$\theta : 0\longrightarrow\dfrac{\pi}{3}$
$\begin{array}{lll}&&\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta\\&=&\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\cos^2\theta\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta\\&=&\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\, d\theta\\&=&\dfrac{\pi}{3}\end{array}$