高校数学：数III積分・定積分の性質と計算方法

こんにちは。今回は定積分について書いておきます。定積分の基本は不定積分なので, 積分のテクニック的なことは何ら変わりません。値を代入する際に注意していけば問題なくできると思います。

定積分の定義

定積分の定義
関数 $f(x)$ の原始関数の1つを $F(x)$ とするとき,
$\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx=\left[F(x)\right]^b_a=F(b)-F(a)$
とする。
$\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx$ を関数 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分という。または, 関数 $f(x)$ を $a$ から $b$ まで積分するという。このとき, $a, b$ を端点とする区間を積分区間という。一般に $a$ は下端, $b$ は上端という。

定積分の性質

定積分の性質
$\displaystyle\int^b_a\left\{pf(x)+qg(x)\right\}\,dx=p\displaystyle\int^b_af(x)\,dx+q\displaystyle\int^b_ag(x)\,dx$ ( $p, q$ は定数)
$\displaystyle\int^a_a f(x)\,dx=0$
$\displaystyle\int^a_b f(x)\,dx=-\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx$
$\displaystyle\int^c_a f(x)\,dx+\displaystyle\int^b_c f(x)\,dx=\displaystyle\int^b_a f(x)\,dx$

定積分の計算方法

定積分の計算方法は次の2通りがある。
関数 $f(x)$ を積分したものを, 例えば $F(x)=px^2+qx$ とすると,
$\left[px^2+qx\right]^b_a=\left(pb^2+qb\right)-\left(pa^2+qa\right)$
または,
$\left[px^2+qx\right]^b_a=\left[px^2\right]^b_a+\left[qx\right]^b_a=\left(pb^2-pa^2\right)+\left(qb^2-qa\right)$
この2通りの解法で以下を解いてみる。
【例】次の定積分を求めよ。
$\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sin x+e^x\right)\,dx$
【解法1】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sin x+e^x\right)\,dx&=&\left[-\cos x+e^x\right]^{\frac{\pi}{2}}_0\\&=&\left(-\cos\dfrac{\pi}{2}+e^{\frac{\pi}{2}}\right)-\left(-\cos 0+e^0\right)\\&=&e^{\frac{\pi}{2}}\end{array}$
【解法2】
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_0\left(\sin x+e^x\right)\,dx&=&\left[-\cos x\right]^{\frac{\pi}{2}}_0+\left[e^x\right]^{\frac{\pi}{2}}_0\\&=&\left\{-\cos\dfrac{\pi}{2}-(-\cos 0)\right\}+\left(e^{\frac{\pi}{2}}-e^0\right)\\&=&1+\left(e^{\frac{\pi}{2}}-1\right)\\&=&e^{\frac{\pi}{2}}\end{array}$

定積分の定義

定積分の性質

定積分の計算方法

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