高校数学：整数：不等式で範囲を絞り込む問題

こんにちは。今回は不等式で整数解の範囲を絞り込む問題をやってみようと思います。

例題

【例題】 $\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=1$ かつ, $x<y<z$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組をすべて求めよ。

解法

【解法例】
$0<x<y<z$ であるから, 逆数にすると大小関係は逆転するので,
$\dfrac1z<\dfrac1y<\dfrac1x$
このことから,
$\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z<\dfrac1x+\dfrac1x+\dfrac1x=\dfrac3x\cdots\maru1$
$\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=1$ より, $\maru1$ は,
$1<\dfrac3x$ となり,
$x<3$ となるので, $x=1, 2$ となる。
$i ) x=1$ のとき,
与式は, $\dfrac1y+\dfrac1z=0$ となるが, $\dfrac1y+\dfrac1z>0$ なので, これを満たす $y, z$ は存在しない。
$ii ) x=2$ のとき,
与式は, $\dfrac1y+\dfrac1z=\dfrac12\cdots\maru2$ となり,
$\dfrac1z<\dfrac1y$ なので,
$\dfrac1y+\dfrac1z<\dfrac1y+\dfrac1y=\dfrac2y$ となり, $\maru2$ から,
$\dfrac12<\dfrac2y$
$y<4$ となるので, $y=1, 2, 3$
この中で, $x=2$ より大きいのは $y=3$ なので, このとき, $\maru2$ にこれを代入すると,
$y=3$ のとき, $z=6$ これは $x<y<z$ を満たす。
以上より, $x=2, y=3, z=6$

Note

$\dfrac1z+\dfrac1z+\dfrac1z<\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=1$ としても $z>3$ となり, 範囲は無限になってしまうので, これでは絞り込みの意味が失われてしまう。

※ $x, y, z$ の大小関係がないときは, 大小関係がある前提で今回と同様に問題を解いてから, 大小関係を取り去るとよい。つまり, 今回の例題で, $x, y, z$ の大小関係がないなら, $( x, y, z )=( 2, 3, 6 ), ( 2, 6, 3 ), ( 3, 2, 6 ), ( 3, 6, 2 ), ( 6, 2, 3 ), ( 6, 3, 2 )$ の6通りの解答がある。