高校数学：整数：3で割ると2余り, 7で割ると4余る自然数

2023年5月2日

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こんにちは。整数のところでは有名な問題ですね。解法のテクニックを身に付けておいてください。それではいきましょう。

問題

【問題】3で割ると2余り, 7で割ると4余る自然数のうち, 3桁で最大のものを求めよ。

解答例

【解答例】3で割って2余り, 7で割って4余る整数を $N$ とすると,
$N=3x+2$ , $N=7y+4\$ ( $x, y$ は整数)とおける。
これより, $3x+2=7y+4$ となり,
$3x-7y=2\cdots\maru1$ となる。
これを満たす $x, y$ の組を1組見つけると, $x=3, y=1$ である。
$3\cdot3-7\cdot1=2\cdots\maru2$ であるから,
$\maru1-\maru2$ より,
$3(x-3)-7(y-1)=0$ となり,
$3(x-3)=7(y-1)$ が得られる。
3と7は互いに素であるから,
$x-3=7k,\ y-1=3k$ となる。( $k$ は整数)
これより, $x=7k+3$ , $y=3k+1$ が得られ,
$N=3x+2$ に $x=7k+3$ を代入すると, $N=21k+11$
これが3桁で最大であればいいので,
$21k+11\leqq999$
$k\leqq47.04\cdots$
これを満たす最大の $k$ の値は $k=47$
よって求める3桁の整数は, $21\cdot47+11=998$
$998\cdots$ (答)

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