TikZ：令和4年度中2徳島県基礎学力テスト(大問5平面図形)

こんにちは。令和4年度となっていますが, 試験が実施されたのは令和5年の2月です。それでは問題を見ていきましょう。

問題

【問題】下の図のように, 正三角形ABCがあり, 辺BC上に点Dをとる。さらに, 辺BCの下側にBDを一辺とする正三角形BEDをつくり, AとD, CとEを結ぶとき, 次の(1)～(3)に答えなさい。

(1) $\bigtriangleup{\mathrm{ABD}}\equiv\bigtriangleup{\mathrm{CBE}}$ を証明しなさい。
(2) $\kaku{ECD}=35\Deg$ のとき, $\kaku{ADC}$ の大きさを求めなさい。
(3) $\bigtriangleup{\mathrm{CDE}}$ の周の長さが $17\, \mathrm{cm}$ , 四角形ABEDの周の長さが $29\, \mathrm{cm}$ のとき, 正三角形 $\mathrm{BED}$ の1辺の長さを求めなさい。

解答例

(1)
$\bigtriangleup{\mathrm{ABD}}$ と $\bigtriangleup{\mathrm{CBE}}$ で,
仮定より,
$\mathrm{AB}=\mathrm{CB}\cdots\maru1$
$\mathrm{BD}=\mathrm{BE}\cdots\maru2$
$\kaku{ABD}=\kaku{CBE}=60\Deg\cdots\maru3$
$\maru1, \maru2, \maru3$ より, 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので,
$\bigtriangleup{\mathrm{ABD}}\equiv\bigtriangleup{\mathrm{CBE}}$
(2)
$\kaku{ECD}=\kaku{BAD}=35\Deg$
よって, $\kaku{ADC}=60\Deg+35\Deg=95\Deg\cdots$ (答)
(3) $\bigtriangleup{\mathrm{CDE}}$ の周の長さ $\ell_1$ は,
$\ell_1=\mathrm{CE}+\mathrm{DE}+\mathrm{DC}=17$
四角形 $\mathrm{ABED}$ の周の長さ $\ell_2$ は,
$\ell_2=\mathrm{AB}+\mathrm{BE}+\mathrm{DE}+\mathrm{AD}=29$
ここで, $\ell_2-\ell_1$ を計算すると,
(1)より, $\mathrm{CE}=\mathrm{AD}$ であるから
$\ell_2-\ell_1&=&(\mathrm{AB}+\mathrm{BE}+\cancel{\mathrm{DE}}+\cancel{\mathrm{AD}})-(\cancel{\mathrm{CE}}+\cancel{\mathrm{DE}}+\mathrm{DC})$
となり,
$\ell_2-\ell_1=&\mathrm{AB}+\mathrm{BE}-\mathrm{DC}\cdots\textcircled{\scriptsize 1}$
となる。
ここで, $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{BD}+\mathrm{DC}$ であるから,
$\maru1=\mathrm{BD}+\cancel{\mathrm{DC}}+\mathrm{BE}-\cancel{\mathrm{DC}}=\mathrm{BD}+\mathrm{BE}\cdots\maru2$
また $\ell_2-\ell_1$ は単純に $29-17=12\, \mathrm{cm}$ である。
つまり, $\maru2=12$
$\maru2$ で, $\mathrm{BD}$ と $\mathrm{BE}$ はともに同じ正三角形の一辺なので, $\mathrm{BD}=\mathrm{BE}$ 。
したがって, $\mathrm{BD}+\mathrm{BE}=2\mathrm{BD}=12$
よって, $\mathrm{BD}=6$
$6\, \mathrm{cm}\cdots$ (答)

問題

解答例

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