高校数学：数C複素数：3点α,β,ɤが正三角形の3頂点であるときの関係式

こんにちは。たまに証明が出題されたりするので, 知っておくと便利でしょう。思考そのものは難しくないと思います。

問題

【問題】複素数平面上で, 複素数 $\alpha, \beta, \gamma$ を表す点をA, B, Cとする。この3点を結ぶ三角形ABCが正三角形であるとき, $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha=0$ が成り立つことを証明せよ。

解答例

【着眼点】
$\alpha, \beta, \gamma$ が正三角形の3頂点ということは以下の関係式が成り立つ。
$\dfrac{\alpha-\gamma}{\beta-\gamma}=\cos\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)$ (複合同順)
【解答例】
問題より,
$\dfrac{\alpha-\gamma}{\beta-\gamma}=\cos\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\pm\dfrac{\pi}{3}\right)$ (複合同順)
が成り立つ。
$\dfrac{\alpha-\gamma}{\beta-\gamma}=\dfrac12\pm\dfrac{\sqrt3}{2}i$
$\dfrac{\alpha-\gamma}{\beta-\gamma}-\dfrac12=\pm\dfrac{\sqrt3}{2}i$
両辺を2乗すると,
$\left(\dfrac{\alpha-\gamma}{\beta-\gamma}-\dfrac12\right)^2=-\dfrac{3}{4}$
$\dfrac{(\alpha-\gamma)^2}{(\beta-\gamma)^2}-\dfrac{\alpha-\gamma}{\beta-\gamma}+1=0$
両辺に $(\beta-\gamma)^2$ をかけると,
$(\alpha-\gamma)^2-(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)+(\beta-\gamma)^2=0$
$\alpha^2-2\gamma\alpha+\gamma^2-(\alpha\beta-\gamma\alpha-\beta\gamma+\gamma^2)+\beta^2-2\beta\gamma+\gamma^2=0$
これを整理すると,
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha=0$
となる。