高校数学：不等式：定期テスト対策(絶対値を含む不等式②)

こんにちは。絶対値を含む不等式の問題をやってみましょう。それではどうぞ。

問題

【問題】次の不等式を解け。
(1) $| x-2 |<2x-1$
(2) $3x-1\leqq | x-5 |$
(3) $x-1>2|x-3|$
(3) $|x-2|+2|x-1|>5$

解答例

(1)
( i ) $x-2\geqq0$ すなわち, $x\geqq 2$ のとき,
$x-2<2x-1\to x>-1$
これと, $x\geqq 2$ の共通範囲は, $x\geqq 2\cdots\maru1$
( ii ) $x-2<0$ すなわち, $x<2$ のとき,
$-x+2<2x-1\to x>1$
これと, $x<2$ の共通範囲は, $1< x< 2\cdots\maru2$
よって, $\maru1, \maru2$ より求める範囲は,
$x>1\cdots$ (答)
(2)
( i ) $x-5\geqq0$ すなわち, $x\geqq 5$ のとき,
$3x-1\leqq x-5\to x\leqq -2$
これと, $x\geqq 5$ の共通範囲は, なし $\cdots\maru1$
( ii ) $x-5<0$ すなわち, $x<5$ のとき,
$3x-1\leqq -x+5\to x\leqq\dfrac32$
これと, $x<5$ の共通範囲は, $x\leqq\dfrac32\cdots\maru2$
よって, $\maru1, \maru2$ より求める範囲は,
$x\leqq\dfrac32\cdots$ (答)
(3)
( i ) $x-3\geqq0$ すなわち, $x\geqq 3$ のとき,
$x-1>2x-6\to x<5$
これと, $x\geqq 3$ の共通範囲は, $3\leqq x< 5\cdots\maru1$
( ii ) $x-3<0$ すなわち, $x<3$ のとき,
$x-1<-2x+6\to x>\dfrac73$
これと, $x<3$ の共通範囲は, $\dfrac73< x< 3\cdots\maru2$
よって, $\maru1, \maru2$ より求める範囲は,
$\dfrac73<x<5\cdots$ (答)
(4)場合分けが3通り必要なパターン
分け方は, $x<1,\ 1\leqq x<2,\ x\geqq2$ の3通り。
( i )
$x<1$ のとき,
$-x+2-2x+2>5\to x<-\dfrac13$
これと, $x<1$ の共通範囲は, $x<-\dfrac13\cdots\maru1$
( ii ) $1\leqq x<2$ のとき,
$-x+2+2x-2>5\to x>5$
これと, $1\leqq x<2$ の共通範囲は, なし $\cdots\maru2$
( iii ) $x\geqq 2$ のとき,
$x-2+2x-2>5\to x>3$
これと, $x\geqq 2$ の共通範囲は, $x>3\cdots\maru3$
よって, $\maru1, \maru2, \maru3$ より求める範囲は,
$x<-\dfrac13,\ x>3\cdots$ (答)

問題

解答例

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