高校数学：数列：等比数列の和の公式のからくり

2023年6月18日2023年6月19日

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こんにちは。今回は等比数列の和の公式について触れておきます。覚えておくと, 和の式がつくりやすいので, マスターしてください。

等比数列の和の公式

一般項 $\{a_n\}$ が $a_n=ar^{n-1}$ で与えられる。初項 $a$ , 公比 $r$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は次式で与えられる。
$S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$
これを細かく見ていくと,

となり, 公式の右辺の公比の指数部には項数がくることが決まりである。ただし, このとき, $n=1, 2, 3, \cdots$ である。これをほとんどの人が知らず取り組んでいるので, $n$ なのか, $n-1$ なのか混乱する原因となる。以下例題を見ていきながら, 指数部がどう変化するか見ていこう。
【例題①】

ただし, $n=0, 1, 2, \cdots$ である。これは $k=n+1$ において, 初項 $k=1$ を表すのは $n=0$ のときであるから。

【例題②】

ただし, $n=2, 3, 4, \cdots$ である。これは $k=n-1$ において, 初項 $k=1$ を表すのは $n=2$ のときであるから。

【例題③】

ただし, $n=3, 4, 5, \cdots$ である。これは $k=n-1$ において, 初項 $k=2$ を表すのは $n=3$ のときであるから。

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