高校数学：数列：連立漸化式の解き方(2パターン)

こんにちは。今回は連立漸化式の問題です。解法のロジックを身に付けておきましょう。

例題

【例題】2つの数列 $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ が, $a_1=1$ , $b_1=1$ ,
$\begin{cases}a_{n+1} = a_n-2b_n \\b_{n+1} = a_n+4b_n\end{cases}$
ただし, $n=1, 2, 3,\cdots$
によって定められるとき, 一般項 $a_n$ , $b_n$ を求めよ。

解法のロジック1

よく見かけるのは, 数列 $\{a_n-\alpha b_n\}$ を考え, これが公比 $\beta$ の等比数列をなすようにして変形していくパターンである。
すなわち,
$a_{n+1}-\alpha b_{n+1}=\beta(a_n-\alpha b_n)$
これに問題の $a_{n+1} = a_n-2b_n$ , $b_{n+1} = a_n+4b_n$ を代入すると,
$(a_n-2b_n)-\alpha(a_n+4b_n)=\beta(a_n-\alpha b_n)$
$(1-\alpha)a_n+(-2-4\alpha)b_n=\beta a_n-\alpha\beta b_n$
左辺と右辺の関係から,
$\begin{cases}1-\alpha=\beta\\2+4\alpha=\alpha\beta\end{cases}$
$\beta$ を消去して,
$2+4\alpha=\alpha(1-\alpha)$
$\alpha^2+3\alpha+2=0$
$(\alpha+1)(\alpha+2)=0$
$\alpha=-1, -2$
$\maru1$ $\alpha=-1$ のとき, $\beta=2$
$a_{n+1}+b_{n+1}=2(a_n+b_n)$ より,
$a_n+b_n=(a_1+b_1)\cdot2^{n-1}$
$a_n+b_n=2^n\cdots\maru3$
$\maru2$ $\alpha=-2$ のとき, $\beta=3$
$a_{n+1}+2b_{n+1}=3(a_n+2b_n)$ より,
$a_n+2b_n=(a_1+2b_1)\cdot3^{n-1}$
$a_n+2b_n=3^n\cdots\maru4$
$\maru3$ , $\maru4$ の連立方程式を解いて,
$a_n=2^{n+1}-3^n$ , $b_n=3^n-2^n\cdots$ (答)

解法のロジック2

次の解法は三項間漸化式に持ち込んで解く方法です。
$\begin{cases}a_{n+1} = a_n-2b_n \\b_{n+1} = a_n+4b_n\end{cases}$
この2式から $b_n$ を消去すると,
$2a_{n+1}+b_{n+1}=3a_n$ となり,
$2a_{n+1}-3a_n+b_{n+1}=0\cdots\maru1$
ここで, 与式の $a_{n+1}=a_n-2b_n$ の $n$ の値を1増やすと,
$a_{n+2}=a_{n+1}-2b_{n+1}$ となり,
$a_{n+2}-a_{n+1}+2b_{n+1}=0\cdots\maru2$
$\maru1$ , $\maru2$ から $b_{n+1}$ を消去して整理すると,
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0$
となる。また, $a_2=a_1-2b_1=-1$ であるから,
$a_1=1, a_2=-1$ , $a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0$ の漸化式を解いて, $a_n$ が得られるというわけだ。
$a_n$ を求めるため式変形すると,
$\begin{cases}a_{n+2}-2a_{n+1} = 3(a_{n+1}-2a_n) \\a_{n+2}-3a_{n+1} = 2(a_{n+1}-3a_n)\end{cases}$
より,
$\begin{cases}a_{n+1}-2a_n = (a_2-2a_1)\cdot3^{n-1} \\a_{n+1}-3a_n = (a_2-3a_1)\cdot2^{n-1}\end{cases}$
これから $a_{n+1}$ を消去して,
$a_n=2^{n+1}-3^n$ となる。
次に, 与式から,
$2b_n=a_n-a_{n+1}$ であるので,
$\begin{array}{lll}2b_n&=&2^{n+1}-3^n-\left(2^{n+2}-3^{n+1}\right)\\&=&-2^{n+1}+2\cdot3^n\end{array}$
よって,
$b_n=3^n-2^n$
以上より,
$a_n=2^{n+1}-3^n$ , $b_n=3^n-2^n\cdots$ (答)