高校数学：数III積分：sinⁿx, cosⁿx, tanⁿxの積分漸化式

こんにちは。頻出系の積分漸化式を書いておきます。攻略のカギは部分積分です。早速いってみましょう。

sinⁿxの積分漸化式

【例】 $I_n=\displaystyle\int \sin^n x\, dx$ とするとき, $I_n$ と $I_{n-2}$ の関係を示せ。

【解答例】
$\begin{array}{rll}I_n&=&\displaystyle\int\sin^{n-1}x\sin x\,dx\\&=&\displaystyle\int\sin^{n-1}x\left(-\cos x\right)'\, dx\\&=&-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)\displaystyle\int\sin^{n-2}x\cos x(\sin x)'\, dx\\&=&-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)\displaystyle\int\sin^{n-2}x\cos^2x\, dx\\&=&-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)\displaystyle\int\sin^{n-2}x\left(1-\sin^2 x\right)\, dx\\&=&-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)\displaystyle\int\sin^{n-2}x\, dx-(n-1)\displaystyle\int\sin^n x\, dx\\&=&-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\\nI_n&=&-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)I_{n-2}\\I_n&=&-\dfrac1n\sin^{n-1}x\cos x+\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\end{array}$
以上より,
$I_n=-\dfrac1n\sin^{n-1}x\cos x+\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$

特に,
$I_n&=&\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx$ のとき,
$I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$
が成り立つ。
これは $I_n&=&\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,dx$ のときも成り立つ。

cosⁿxの積分漸化式

【例】 $I_n=\displaystyle\int \cos^n x\, dx$ とするとき, $I_n$ と $I_{n-2}$ の関係を示せ。

【解答例】
$\begin{array}{rll}I_n&=&\displaystyle\int\cos^{n-1}x\cos x\,dx\\&=&\displaystyle\int\cos^{n-1}x\left(\sin x\right)'\, dx\\&=&\cos^{n-1}x\sin x-(n-1)\displaystyle\int\cos^{n-2}x\sin x(\cos x)'\, dx\\&=&\cos^{n-1}x\sin x+(n-1)\displaystyle\int\cos^{n-2}x\sin^2x\, dx\\&=&\cos^{n-1}x\sin x+(n-1)\displaystyle\int\cos^{n-2}x\left(1-\cos^2 x\right)\, dx\\&=&\cos^{n-1}x\sin x+(n-1)\displaystyle\int\cos^{n-2}x\, dx-(n-1)\displaystyle\int\cos^n x\, dx\\&=&\cos^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\\nI_n&=&\cos^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}\\I_n&=&\dfrac1n\cos^{n-1}x\sin x+\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\end{array}$
以上より,
$I_n=\dfrac1n\cos^{n-1}x\sin x+\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$

特に,
$I_n&=&\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,dx$ のとき,
$I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$
が成り立つ。
これは $I_n&=&\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx$ のときも成り立つ。

積分区間が[0,π/2]で,sinxとcosxの漸化式が同じになる理由

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx$ で,
$x=\dfrac{\pi}{2}-t$ とおくと, $dx=-dt$
$t=\dfrac{\pi}{2}-x$
$x : 0\rightarrow\dfrac{\pi}{2}$ のとき,
$t : \dfrac{\pi}{2}\rightarrow0$
$\begin{array}{lll}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx&=&\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin^n\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)\,(-dt)\\&=&\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n t\,dt\\&=&\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,dx\end{array}$
これより,
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\,dx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x\,dx$
が成り立つから漸化式も同じになる。

tanⁿxの積分漸化式

【例】 $I_n=\displaystyle\int \tan^n x\, dx$ とするとき, $I_n$ と $I_{n-2}$ の関係を示せ。

【解答例】
$\begin{array}{rll}I_n&=&\displaystyle\int\tan^2x\tan^{n-2}x\,dx\\&=&\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)\tan^{n-2}x\, dx\\&=&\displaystyle\int\dfrac{\tan^{n-2}x}{\cos^2x}\, dx-\displaystyle\int\tan^{n-2}x\, dx\\&=&\displaystyle\int\tan^{n-2}x\left(\tan x\right)'\, dx-I_{n-2}\\&=&\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-I_{n-2}\\\end{array}$
以上より,
$I_n=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-I_{n-2}$

特に,
$I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x\, dx$ のとき,
$I_n=\dfrac{1}{n-1}-I_{n-2}$
が成り立つ。