TikZ：中学数学：空間図形：最短距離, 体積の問題(東京)

こんにちは。一部表現を変えています。それではどうぞ。

東京都

下の図1に示した立体 $\text{A}-\text{BCD}$ は, 1辺の長さが6cmの正四面体である。
辺ACの中点をMとする。点Pは, 頂点Aを出発し, 辺AB, 辺BC上を毎秒1cmの速さで動き, 12秒後に頂点Cに到着する。
点Qは, 点Pが頂点Aを出発するのと同時に頂点Cを出発し, 辺CD, 辺DA上を, 点Pと同じ速さで動き, 12秒後に頂点Aに到着する。
点Mと点P, 点Mと点Qをそれぞれ結ぶ。次の各問いに答えよ。
(1) 図1において, 点Pが辺AB上にあるとき, $\text{MP}+\text{MQ}=l\, \text{cm}$ とする。 $l$ の値が最も小さくなるのは, 点Pが頂点Aを出発してから何秒後であるか。
【図1】

(2) 下の図2は, 図1において, 点Pが頂点Aを出発してから8秒後のとき, 頂点Aと点P, 点Pと点Qをそれぞれ結んだ場合を表している。立体 $\text{Q}-\text{APM}$ の体積を求めなさい。
【図2】

【東京一部表現改】

解答解説

【解答】
(1) $\dfrac32$ 秒後
(2) $4\sqrt2\, \text{cm}^3$
【解説】

$\bigtriangleup{\text{APM}}$ , $\bigtriangleup{\text{CQM}}$ が $1 : 2 : \sqrt{3}$ の直角三角形になるときが, 最短になる。 $\text{AM}=\text{CM}=3\,\text{cm}$ なので, $\text{AP}=\text{CQ}=\dfrac32\, \text{cm}$ 。
よって, $\dfrac32$ 秒後 $\cdots$ (答)
(2)

まず, 正四面体 $\text{A}-\text{BCD}$ の体積を求めて, 求める立体 $\text{Q}-\text{APM}$ の体積が全体のいくつにあたるかで解いていきます。
頂点Aから正三角形BCDに垂線AHを下ろす。このとき, 直角三角形の合同条件より, $\bigtriangleup{\text{AHB}}$ , $\bigtriangleup{\text{AHC}}$ , $\bigtriangleup{\text{AHD}}$ の三角形は合同であるから, $\text{BH}=\text{CH}=\text{DH}$ が言え, $\bigtriangleup{\text{HBC}}$ , $\bigtriangleup{\text{HCD}}$ , $\bigtriangleup{\text{HDB}}$ の三角形も合同な二等辺三角形(3組の辺がそれぞれ等しい)である。また, HからCDに垂線HUを下ろすと, $\bigtriangleup{\text{HUC}}$ は, $1 : 2 : \sqrt3$ の直角三角形で, $\text{CU}=3\,\text{cm}$ であるから, $\text{CH}=2\sqrt3\, \text{cm}$ である。 $\bigtriangleup{\text{ACH}}$ で三平方の定理より, AHを求めると,
$\text{AH}=\sqrt{6^2-(2\sqrt3)^2}=2\sqrt6\,\text{cm}$
1辺 $6\,\text{cm}$ の正三角形の面積は, $6\times3\sqrt3\times\dfrac12=9\sqrt3$
よって, 正四面体 $\text{A}-\text{BCD}$ の体積は,
$9\sqrt3\times2\sqrt6\times\dfrac13=18\sqrt2\, \text{cm}^3\cdots\maru1$
次に, 立体 $\text{Q}-\text{APM}$ の底面を $\bigtriangleup{\text{AMQ}}$ として, $\bigtriangleup{\text{AMQ}}$ は $\bigtriangleup{\text{ACD}}$ のいくつにあたるか見てみる。
P, Qが出発して8秒後ということは, $\text{BP}=\text{DQ}=2\, \text{cm}$ であるから, $\text{AQ} : \text{QD} = 2 : 1$ , $\text{AM} : \text{MC} = 1 : 1$ であるから, $\bigtriangleup{\text{AMQ}}=\dfrac{1\times2}{2\times3}\bigtriangleup{\text{ACD}}=\dfrac{1}{3}\bigtriangleup{\text{ACD}}\cdots\maru2$

また, 底面を $\bigtriangleup{\text{AMQ}}$ としたときの立体 $\text{Q}-\text{APM}$ の高さの割合は, $\dfrac{\text{PC}}{\text{BC}}$ に等しいので, 高さは全体の $\dfrac{2}{3}$ 倍 $\cdots\maru3$
よって, 求める体積は, $\maru1, \maru2, \maru3$ より,
$18\sqrt2\times\dfrac13\times\dfrac23=4\sqrt2\, (\text{cm}^3)\cdots$ (答)

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解答解説

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