高校数学：数列：複利計算の体系的理解

こんにちは。模試や実力テストで問われることがある複利計算。さてどんなからくりなんでしょう。

基本例題を見てみよう

【例題】年利率 $0.2\%$ , 1年ごとの複利で, 毎年初めに15万円ずつ積み立てるとする。10年後の年末における元利合計の金額はいくらになるか。ただし, $(1.002)^{10}=1.0202$ とする。

【解法】
計算の都合上, 万円の単位は省くものとする。
1年後の年末
1年後 $15\times1.002$
2年後は1年後の金額に15足して, 年末 $1.002$ 倍になるので,
2年後 $(15\times1.002+15)\times1.002=15\times(1.002)^2+15\times1.002$
3年後も同様に, 2年後の金額に15足して, 年末 $1.002$ 倍になる。
3年後 $(15\times(1.002)^2+15\times1.002+15)\times1.002$
$=15\times(1.002)^3+15\times(1.002)^2+15\times1.002$
つまり, 10年後の年末は,
10年後 $15\times(1.002)^{10}+15\times(1.002)^9+15\times(1.002)^8+\cdots+15\times(1.002)^2+15\times1.002$
となる。
これは, 初項 $15\times1.002$ , 公比 $1.002$ の等比数列の第10項までの和なので,
10年後の元利合計の金額を計算すると,
$\dfrac{15\times1.002((1.002)^{10}-1)}{1.002-1}=\dfrac{15\times1.002(1.0202-1)}{0.002}=151.803$
よって, 10年後の金額は, $151.803$ 万円

ちょっとした応用

【例題】年利率 $5\%$ で100万円借りて, ちょうど1年後から毎年10万円ずつ返済していくとする。このとき, 何年後に返済し終わるか。ただし, 1年ごとの複利で計算し, $\log_{10}1.05=0.0212$ , $\log_{10}2=0.3010$ とする。

【解法】
100万円と10万円を計算の都合上, それぞれ100, 10とすると, 1年後は借りたお金は $100\times1.05$ になっている。そこから10ずつ返していくので, 1年後の残りの金額は $100\times1.05-10\cdots\maru1$ となる。2年目は $\maru1$ の金額の $1.05$ 倍したものから10を引いた金額が, 2年後の残りの金額になる。つまり, $(100\times1.05-10)\times1.05-10=100\times(1.05)^2-(10\times1.05+10)\cdots\maru2$ , 3年目は $\maru2$ の金額の $1.05$ 倍したものから10を引いた金額が3年後の残りの金額になる。
つまり, $100\times(1.05)^2-10\times1.05-10)\times1.05-10$
$=100\times(1.05)^3-(10\times(1.05)^2+10\times1.05+10)\cdots\maru3$ となる。
ここまでくるとある程度見通しは立つだろうか。一旦整理すると,
1年後
$100\times1.05-10$
2年後
$100\times(1.05)^2-(10\times1.05+10)$
3年後
$100\times(1.05)^3-(10\times(1.05)^2+10\times1.05+10)$
これを $n$ 年後とすると,
$n$ 年後
$100\times(1.05)^n-(10\times(1.05)^{n-1}+10\times(1.05)^{n-2}+\cdots+10\times1.05+10)\cdots\maru4$
となる。
返済が終わるということは, $\maru4$ が0以下になればいいので,
$100\times1.05^n-(10\times1.05^{n-1}+10\times1.05^{n-2}+\cdots+10\times1.05+10)\leqq0$
より,
$100\times1.05^n\leqq10\times1.05^{n-1}+10\times1.05^{n-2}+\cdots+10\times1.05+10$
右辺は等比数列の和の公式より,
$\dfrac{10(1.05^n-1)}{1.05-1}=200(1.05^n-1)$ なので,
$100\times1.05^n\leqq200(1.05^n-1)$
$1.05^n\geqq2$
$n\log_{10}1.05\geqq\log_{10}2$
$0.0212n\geqq0.3010$
$n\geqq14.198\cdots$
よって15年後に返済し終わる。

からくりはこんな感じであるが, 返済金額は年利率 $5\%$ で1年後から10年後まで積み立てて1度に返すと考えてみてもよい。つまり,
1年後 $10$
2年後 $10\times1.05+10$
3年後 $(10\times1.05+10)\times1.05+10=10\times(1.05)^2+10\times1.05+10$
$\vdots$
$n$ 年後 $10\times(1.05)^{n-1}+10\times(1.05)^{n-2}+\cdots+10\times1.05+10$
この $n$ 年後の和を求めて, それが $100\times(1.05)^n$ 以上になればよいと考えても問題はない。