高校数学：式と計算：x⁵+y⁵の変形を忘れたら焦らずつくる

式変形の方法を忘れたときの対処法です。ご覧ください。

こんなときどうする

こんにちは。模試などのテストのとき, $x^5+y^5$ の値を求めなさい。なんて出てくることがあるかもしれません。そんなのできないよ。そう嘆かないでください。その問題の前に必ずと言っていいほど, $x^2+y^2$ の値や $x^3+y^3$ の値を求めているはずです。したがって, それらを使って, $x^5+y^5$ の値を求めていくことになります。それが突破のカギとなります。
次に変形の式が思いつかないときの対処法をご覧ください。

変形の仕方忘れたら焦らずつくる

$x^5+y^5$ ってどう変形したらいいかわからない。そんなときは焦らずこう考えるのです。
$x^2+y^2$ と $x^3+y^3$ をかけるとなんか $x^5+y^5$ っぽいものができそうだなと。
そこで実際掛け算してみるのです。すると,
$(x^2+y^2)(x^3+y^3)=x^5+x^2y^3+x^3y^2+y^5$
つまり,
$(x^2+y^2)(x^3+y^3)=x^5+y^5+x^2y^2(x+y)\cdots\maru1$
ここで必要なのは $x^5+y^5$ だけなので, $\maru1$ の右辺の $x^2y^2(x+y)$ を左辺に移行して, 左辺と右辺を入れ替えると,
$x^5+y^5=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2y^2(x+y)$
となり, $x^2+y^2$ と $x^3+y^3$ を用いた式に変形できます。もちろん $xy$ や $x+y$ の値も必要ですが, それは問題から平易にわかることだと思います。問題を解く人って単に暗記でなくて原理原則を知ったうえで問題を解いているので, こんな風に変形の式をつくってしまうんですね。この方法で全部が全部できるわけではないかもしれませんが, あなたがもしこの方法を知らないのであれば, ぜひ試してみてください。