TikZ：高校数学：2次関数：2つの2次関数の大小関係②(定義域あり)

2024年8月25日2024年8月26日

こんにちは。早速いってみましょう。

問題

【問題】 $f(x)=x^2-2x+3$ , $g(x)=-x^2+6x+a^2+a-9$ がある。次の条件が成り立つような定数 $a$ の範囲を定めよ。
(1) $0\leqq x\leqq 4$ を満たすすべての実数 $x_1$ , $x_2$ に対して, $f(x_1)<g(x_2)$ が成り立つ。
(2) $0\leqq x\leqq 4$ を満たすある実数 $x_1$ , $x_2$ に対して, $f(x_1)<g(x_2)$ が成り立つ。

解答・解説

【解答】
(1) $a<-5$ , $4<a$
(2) $a<-2$ , $1<a$
【解説】
$f(x)=(x-1)^2+2$ , $g(x)=-(x-3)^2+a^2+a$

(1) $0\leqq x\leqq 4$ のすべての実数 $x_1$ , $x_2$ において $f(x_1)<g(x_2)$ が成り立つということは, $0\leqq x\leqq 4$ における, $f(x)$ の最大値 $(\textcolor{blue}{11})<g(x)$ の最小値 $(\textcolor{red}{a^2+a-9})$ が成り立てばよい。
したがって,
$11<a^2+a-9$
$a^2+a-20>0$
$(a+5)(a-4)>0$
$a<-5, 4<a\cdots$ (答)

(2) $0\leqq x\leqq 4$ のある実数 $x_1$ , $x_2$ において $f(x_1)<g(x_2)$ が成り立つということは, $0\leqq x\leqq 4$ における, $f(x)$ の最小値 $(\textcolor{blue}{2})<g(x)$ の最大値 $(\textcolor{red}{a^2+a})$ が成り立てばよい。
したがって,
$2<a^2+a$
$a^2+a-2>0$
$(a+2)(a-1)>0$
$a<-2, 1<a\cdots$ (答)

問題

解答・解説

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