高校数学：2次関数：2つの2次関数の大小関係①(定義域なし)

2024年8月25日

こんにちは。早速行ってみましょう。

問題

【問題】2つの2次関数 $f(x)=x^2+2ax+20$ , $g(x)=-x^2+4ax-30$ がある。次の条件が成り立つように定数 $a$ の範囲を定めよ。
(1) すべての実数 $x$ に対して $f(x)>g(x)$ が成り立つ。
(2) ある実数 $x$ に対して $f(x)<g(x)$ が成り立つ。

解答・解説

【解答】
(1) $-10<a<10$
(2) $a<-10, 10<a$
【解説】
(1) $F(x)=f(x)-g(x)$ とおく。
つまり,
$\begin{array}{lll}F(x)&=&x^2+2ax+20-(-x^2+4ax-30)\\&=&2x^2-2ax+50\\&=&2\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^2-\dfrac{a^2}{2}+50\end{array}$
すべての実数 $x$ に対して, $f(x)>g(x)$ ということは, $f(x)-g(x)>0$ であり, これは, $F(x)$ の最小値が正であればいいことと同値である。したがって,
$-\dfrac{a^2}{2}+50>0$
$a^2<100$
$-10<a<10\cdots$ (答)
(2) ある $x$ について, $f(x)<g(x)$ となるということは, $f(x)<g(x)$ となる $x$ が少なくとも1つはあるということと同値である。つまり, $f(x)-g(x)<0$ , すなわち, $F(x)$ の最小値 $<0$ が成り立てばよい。したがって,
$-\dfrac{a^2}{2}+50<0$
$a^2>100$
$a<-10, 10<a\cdots$ (答)

問題

解答・解説

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