TikZ：高校数学：二次方程式：2次方程式の解と定数aの範囲(少なくとも1つの実数解)

こんにちは。頻出系ですのでやっておきましょう。解法は2パターンかいておきます。どちらも大事な解法なので身につけておいてください。

問題

【問題】2次方程式 $x^2+(2-a)x+4-2a=0$ が $-1<x<1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

解答・解説

【解答】 $2\leqq x<3$
【解説】
$f(x)=x^2+(2-a)x+4-2a$ とする。
$f(x)=\left(x+\dfrac{2-a}{2}\right)^2-\dfrac{(2-a)^2}{4}+4-2a$
まず異なる2つの実数解が $-1<x<1$ の範囲に2つ存在する場合を考える。
(1) 判別式 $\geqq0$ より,
$(2-a)^2-4(4-2a)\geqq0\to a^2+4a-12\geqq0\to (a-2)(a+6)\geqq0$
よって, $a\leqq -6$ , $2\leqq a\cdots\maru1$
(2) $-1<$ 軸 $<1$
$-1<-\dfrac{2-a}{2}<1\to -2<2-a<2\to 0<a<4\cdots\maru2$
(3) $f(-1)>0\to -a+3>0\to a<3\cdots\maru3$
(4) $f(1)>0\to -3a+7>0\to a<\dfrac73\cdots\maru4$
$\maru1$ ～ $\maru4$ の共通範囲は,
$2\leqq a<\dfrac73\cdots\maru5$
(5) 解の1つが $-1<x<1$ の範囲に1つあり, 他の解がその範囲外にあるとき,
$f(-1)\cdot f(1)<0$ が成り立つので,
$(-a+3)(-3a+7)<0\to (a-3)(3a-7)<0\to \dfrac73<a<3\cdots\maru6$
(6) 解の1つが $x=-1$ のとき, $f(-1)=0$ が成り立つ。このとき,
$-a+3=0\to a=3$ となり, 方程式は $x^2-x-2=0$ となる。これを解くと,
$(x-2)(x+1)=0\to x=-1, 2$ となり, $a=3$ は条件を満たさない。
(7) 解の1つが $x=1$ のとき, $f(1)=0$ が成り立つ。このとき,
$-3a+7=0\to a=\dfrac73$ となり, 方程式は $3x^2-x-2=0$ となる。これを解くと,
$(3x+2)(x-1)=0$ となり, $x=1, -\dfrac23$ となり, $a=\dfrac73$ は条件を満たす。 $\cdots\maru7$
以上 $\maru5$ , $\maru6$ , $\maru7$ より, 求める範囲は,
$2\leqq a<3\cdots$ (答)

解法２

定数 $a$ を含む式とそうでないものに分ける。つまり,
与式を $x^2+2x+4=a(x+2)$ とし, $f(x)=x^2+2x+4\ (-1<x<1)$ , $g(x)=a(x+2)$ として, $f(x)$ と $g(x)$ の交点の有無で $a$ の範囲を求めるというもの。
$f(x)=(x+1)^2+3\ (-1<x<1)$ で, $g(x)$ は定点 $(-2, 0)$ を通るので, グラフをかくと,

$f(x)$ と $g(x)$ が接するとき, すなわち, $x^2+2x+4=a(x+2)\to x^2+(2-a)x+4-2a=0$ が重解を持つとき,
判別式 $D=0$ より,
$(2-a)^2-4(4-2a)=0\to(a+6)(a-2)=0\to a=-6, 2$ , $a>0$ より, $a=2$
次にグラフの傾きが増加していくと交点は2個になり, 最終, 点 $(-1, 3)$ を通るときが端点になります。このとき, $g(x)=a(x+2)$ に代入すると, $a=3$ となります。この $a=3$ は含まないので, 求める $a$ の範囲は, $2\leqq a<3$ となります。

問題

解答・解説

解法２

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