高校数学：対数：log(x+1)+logxとlogx(x+1)は同値でない

2024年8月30日

こんにちは。対数のところで大切な考え方なので, ここに書いておきます。

例題を見てみよう

【例題】次の方程式を解け
(1) $\log_2{x}+\log_2{(x+1)}=1$
(2) $\log_2{x(x+1)}=1$

(1)も(2)も同じようだけど

(1)では真数条件が, $x>0$ かつ $x+1>0\to x>-1$ なので, 共通部分をとって $x>0$ が真数条件になる。
したがって,
$\log_2x(x+1)=1$
$x(x+1)=2$
$x^2+x-2=0$
$(x+2)(x-1)=0$
$x=-2, 1$
$x>0$ より, 求める解は $x=1$
となる。
(2)では真数条件が, $x(x+1)>0$ なので, $x<-1, x>0$ が真数条件である。
したがって, (1)と同様に解くと,
$x=-2, 1$
$x<-1, x>0$ より, 求める解は $x=-2, 1$
となる。
(1)の途中で(2)と同じ式が出てくるが, その式で真数条件をとっても意味がないことはわかるだろう。
このように途中の計算式は同じでも解は異なることがわかる。
したがって,
$\log_2{x}+\log_2{(x+1)}$ と $\log_2{x(x+1)}$ は同値変形ではないといえる。

例題を見てみよう

(1)も(2)も同じようだけど

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