TikZ：高校数学：3次関数：3次関数が極値をもつ,もたないということ

こんにちは。3次関数が極値をもつということはどういうことか, 極値をもたないということはどういうことか書いておきます。

3次関数が極値をもつということ

3次関数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a\neq0)$ は微分すると2次関数 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ になります。この2次関数(f'(x))の様子は以下の3パターンに分類されることがわかります。ただし, $a>0$ , 判別式を $D$ とする。
図1： $f'(x)$ が $x$ 軸と異なる2点で交わる $D>0$

図2： $f'(x)$ が $x$ 軸と接する $D=0$

図3： $f'(x)$ が $x$ 軸と交点を持たない(常に正である) $D<0$

この3パターンのうち $f'(x)$ の符号が入れ替わるのは, 図1の場合のみである。すなわち, $f'(x)=0$ が異なる2つの実数解を持てばよいので, $f'(x)=0$ の判別式 $D>0$ となればよく, このとき3次関数は極値を持つことになる。

3次関数が極値をもたないということ

極値をもたないということは, $f(x)$ の増減が入れ替わらないことなので, 上の図で $f'(x)$ の符号の変化がなければ極値をもたないことになります。したがって, $f'(x)$ が重解をもつ場合(図2)か, 実数解をもたないとき(図3)であり, これを合わせると, $f'(x)=0$ の判別式 $D\leqq0$ となればよい。

関数が極値をもつということ

結局 $f'(x)$ の符号の入れ替わりがあるかないかがポイントとなります。 $f'(x)$ の符号の入れ替わりがあれば, その関数は極値をもつし, 符号の入れ変わりがなければ, その関数は極値をもたないことになります。

3次関数が極値をもつということ

3次関数が極値をもたないということ

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