TikZ：中学数学：放物線：放物線と図形(高知県)

こんにちは。よく問われる問題です。しっかりとマスターしましょう。

高知県

下の図のように, 関数 $y=\dfrac14x^2$ のグラフと, $x$ 軸, $y$ 軸に平行な辺をもつ正方形ABCDがある。点A, Bは関数 $y=\dfrac14x^2$ のグラフ上の点であり, 点Aの $x$ 座標は $-2$ である。このとき, 次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
(1) 点Cの座標を求めなさい。
(2) 関数 $y=\dfrac14x^2$ のグラフ上に, $x$ 座標が $-3$ となる点Eをとる。このとき, 点Eを通り, 正方形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めなさい。
(3) (2)で求めた直線と, 線分AD, $y$ 軸, 線分BCとの交点をそれぞれ点F, G, Hとし, 線分ABの中点をMとする。このとき, 四角形AMGFと四角形MBHGの面積比を求め, 最も簡単な整数の比で表しなさい。

【高知県】

解答・解説

【解答】
(1) $\text{C(2, 5)}$
(2) $y=\dfrac14x+3$
(3) $7 : 9$
【解説】

(1) $\text{A}(-2, 1)$ , $\text{B(2, 1)}$ より, 正方形の一辺は4であるから, $\text{C(2, 5)}$
(2) 求める直線は点Eと正方形ABCDの対角線の中点Gを通る直線である。
$\text{E\left(-3, \dfrac94\right)}$ であり, Gは点Aと点Cの平均だから, $\text{G}\left(\dfrac{-2+2}{2}, \dfrac{1+5}{2}\right)$ より, $\text{G(0, 3)}$ したがって求める直線は, $y=ax+3$ とおいて, 点Eを代入して $a=\dfrac14$ 。
よって, $y=\dfrac14x+3$
(3) (2)より, $\text{F}\left(-2, \dfrac52\right)$ , $\text{G(0, 3)}$ , $\text{H}\left(2, \dfrac72\right)$ であるから, $\text{AF}=\dfrac32$ , $\text{GM}=2$ , $\text{BH}=\dfrac52$ 。四角形AMGFと四角形MBHGはそれぞれ高さの等しい台形なので, 面積比は(上底＋下底)の比で求まる。よって面積比は,
$\left(\dfrac{3}{2}+2\right) : \left(2+\dfrac52\right)=7 : 9$

高知県

解答・解説

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