中学数学：確率：確率と円周角の問題(R6茨城県)

こんにちは。早速いってみましょう。

茨城県

1から6までの数が1つずつ書かれた6枚の赤色カード $\mybox{1}$ , $\mybox{2}$ , $\mybox{3}$ , $\mybox{4}$ , $\mybox{5}$ , $\mybox{6}$ と, 7から12までの数が1つずつ書かれた6枚のカード $\mybox{7}$ , $\mybox{8}$ , $\mybox{9}$ , $\mybox{10}$ , $\mybox{11}$ , $\mybox{12}$ がある。赤色のカードをよくきってから1枚引き, そのカードに書かれた数を $a$ とする。同様に, 青色のカードをよくきってから1枚引き, そのカードに書かれた数を $b$ とする。
このとき, 次の(1), (2)の問いに答えなさい。
ただし,赤色と青色のカードそれぞれにおいて, どのカードが引かれることも同様に確からしいとする。
(1) $a+b$ が3の倍数となる確率として正しいものを, ア～オの中から1つ選んで, その記号を書きなさい。
ア $\dfrac12$ , イ $\dfrac13$ , ウ $\dfrac14$ , エ $\dfrac16$ , オ $\dfrac{1}{12}$
(2)下の図のように, 円周を12等分する点があり, 時計回りにそれぞれ1から12までの番号をつけ, $a, b$ と同じ番号の点にそれぞれコマを置く。例えば, $a=3$ , $b=7$ のとき, 円周上の番号3, 番号7の2つの点にそれぞれコマを置く。
$\maru1$ コマを置いた2つの点が, この円の直径の両端となる確率を求めなさい。
$\maru2$ 番号1の点とコマを置いた2つの点が, 直角三角形の3つの頂点となる確率を求めなさい。

【茨城県】

解答・解説

【解答】
(1) イ
(2) $\maru1$ $\dfrac16$ , $\maru2$ $\dfrac{5}{18}$
【解説】
(1) 3の倍数になるのは
$a+b=9, 12, 15, 18$ のとき,
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} &1&2&3&4&5&6\\ \hline7&&\bullet&&&\bullet&\\ \hline8&\bullet&&&\bullet&&\\ \hline9&&&\bullet&&&\bullet\\ \hline10&&\bullet&&&\bullet&\\ \hline11&\bullet&&&\bullet&&\\ \hline12&&&\bullet&&&\bullet\\ \hline\end{array}$
上の $\bullet=12$ 通り。よって, $\dfrac{12}{36}=\dfrac13$
(2)
$\maru1$ 　対角線になるのは,
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} &1&2&3&4&5&6\\ \hline7&\bullet&&&&&\\ \hline8&&\bullet&&&&\\ \hline9&&&\bullet&&&\\ \hline10&&&&\bullet&&\\ \hline11&&&&&\bullet&\\ \hline12&&&&&&\bullet\\ \hline\end{array}$
上の $\bullet=6$ 通り。よって, $\dfrac{6}{36}=\dfrac16$
$\maru2$
最も多くできるのは1, 7(直径)を選んだときで, 赤のカードは2, 3, 4, 5, 6の5通り選べる。あとは $a, b$ が直径になるときを選べば, 自動的に直角三角形になる。したがって, カードの選び方は以下の $\bullet$ ようになる
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} &1&2&3&4&5&6\\ \hline7&&\bullet&\bullet&\bullet&\bullet&\bullet\\ \hline8&&\bullet&&&&\\ \hline9&&&\bullet&&&\\ \hline10&&&&\bullet&&\\ \hline11&&&&&\bullet&\\ \hline12&&&&&&\bullet\\ \hline\end{array}$
上の $\bullet=10$ 通り。よって, $\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18}$

茨城県

解答・解説

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