高校数学：ベクトル：ax+by+c=0はベクトル(a,b)に垂直であるわけ

2024年9月21日

こんにちは。それでは早速いってみましょう。

証明したいこと

直線 $ax+by+c=0$ はベクトル $(a, b)$ に垂直である。
言い換えると,
直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルは $(a, b)$ である。

証明は意外と簡単

直線 $ax+by+c=0$ があるとする。この直線上の任意の点を $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ とする。このとき,
$ax_1+by_1+c=0\cdots\maru1$
$ax_2+by_2+c=0\cdots\maru2$
が成り立ち,
$\maru1-\maru2$ から,
$a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0\cdots\maru3$
が成り立つ。
このとき2つのベクトル,
$(a, b)$ , $(x_1-x_2, y_1-y_2)$ はどちらも $\bekutoru{0}$ ではない。
よって, $\maru3$ より, ベクトル $(a, b)$ は直線上にとったどんなベクトルに対しても垂直である。
つまり, 直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルは $(a, b)$ である。