高校数学：空間ベクトル：外積を用いた垂直なベクトルの求め方

こんにちは。内積があれば, 外積もあるという話。今回は空間における2つのベクトルに対して垂直なベクトルの求め方を外積を用いて, 求めてみる。自身が高校生のときよく使ってました～懐かしい。

外積

2つのベクトル $\bekutorui{A}=(a_1, a_2, a_3)$ , $\bekutorui{B}=(b_1, b_2, b_3)$ の両方に垂直なベクトルを $\bekutorui{X}=( x, y, z )$ とする。このとき, 内積の関係から,
$a_1x+a_2y+a_3z=0\cdots\maru1$
$b_1x+b_2y+b_3z=0\cdots\maru2$
が成り立ち,
$\maru1, \maru2$ で $y$ を消去すると,
$(a_1b_2-a_2b_1)x=(a_2b_3-a_3b_2)z$ となり,
$x=\dfrac{a_2b_3-a_3b_2}{a_1b_2-a_2b_1}z$ となる。
同様にして, $\maru1, \maru2$ で $x$ を消去すると,
$(a_1b_2-a_2b_1)y=(a_3b_1-a_1b_3)z$ となり,
$y=\dfrac{a_3b_1-a_1b_3}{a_1b_2-a_2b_1}z$ となる。
これらのことから, $\bekutorui{X}$ の成分の比は
$x : y : z=\left(\dfrac{a_2b_3-a_3b_2}{a_1b_2-a_2b_1}z\right) : \left(\dfrac{a_3b_1-a_1b_3}{a_1b_2-a_2b_1}z\right) : z$
となり, この比を簡単にすると,
$x : y : z = (a_2b_3-a_3b_2) : (a_3b_1-a_1b_3) : (a_1b_2-a_2b_1)$
となる。
つまり, 2つのベクトル $\bekutorui{A}$ と $\bekutorui{B}$ に垂直なベクトル $\bekutorui{X}$ の1つは,
$X=(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)$
で与えられる。
これを $\bekutorui{A}$ , $\bekutorui{B}$ の外積という。
この外積の計算は以下のように計算するのが有名である。

例題

【例題】2つのベクトル $\bekutorui{a}=(1, 2, 3)$ , $\bekutorui{b}=(1, -2, 1)$ の両方に垂直で大きさが $\sqrt{21}$ のベクトル $\bekutorui{p}$ を求めよ。

上の計算で垂直なベクトルを求めると,

となるので, 垂直なベクトルの1つは, $(8, 2, -4)$ 。このベクトルを簡単にして, 垂直なベクトルの1つは $(4, 1, -2)$ とおける。この問題では大きさが $\sqrt{21}$ であるから, 求めるベクトルを $(4k, k, -2k)$ として, 大きさが $\sqrt{21}$ になるよう $k$ を定めると,
$(4k)^2+k^2+(-2k)^2=21$
$k=\pm1$
よって求めるベクトルは,
$(\pm4, \pm1, \mp2)$ 　ただし, 複合同順

こんな風にして垂直なベクトルが求まるというお話です。

外積

例題

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