高校数学：公式：ヘロンの公式(3辺既知の三角形の面積の公式)

こんにちは。ヘロンの公式とは, 3辺がわかっているときの三角形の面積を求める公式です。

ヘロンの公式とは

ヘロンの公式

三角形の3辺を $a, b, c$ とし, $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ とおくとき, 三角形の面積 $S$ は
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
で与えられる。

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使用例

$\text{AB}=7, \text{BC}=6, \text{CA}=5$ の三角形ABCの面積を求めなさい。

【解答例】
$s={7+6+5}{2}=9$
よって, 求める面積を $S$ とすると,
$S=\sqrt{9(9-7)(9-6)(9-5)}=\sqrt{9\cdot2\cdot3\cdot4}=6\sqrt6$
$6\sqrt6\cdots$ (答)
ほんとに？って方に余弦定理から $\cos C$ の値求めて解いてみたのがこちら。
余弦定理より,
$\cos C=\dfrac{36+25-49}{2\cdot5\cdot 6}=\dfrac15$
これより, $\sin C=\sqrt{1-\dfrac{1}{25}}=\dfrac{2\sqrt6}{5}$
よって求める面積は,
$S=\dfrac12\cdot5\cdot6\cdot\sin C=\dfrac12\cdot5\cdot6\cdot\dfrac{2\sqrt6}{5}=6\sqrt6$

証明

$s=\dfrac{a+b+c}{2}$ とする。
三角形の面積の公式より
$S=\dfrac12ab\sin\theta\cdots\maru1$
$0<\theta<180\Deg$ より, $\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$ である。これと $\maru1$ から,
$S=\dfrac12ab\sqrt{1-\cos^2\theta}\cdots\maru2$ となる。
また, 余弦定理より, $\cos\theta=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ であるから, これを $\maru2$ に代入し, 整理していくと,
$\begin{array}{lll}S&=&\dfrac12ab\sqrt{1-\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}\\&=&\dfrac14\cdot2ab\sqrt{1-\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}\\&=&\dfrac14\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\\&=&\dfrac14\sqrt{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}\\&=&\dfrac14\sqrt{\left\{(a+b)^2-c^2\right\}\left\{c^2-(a-b)^2\right\}}\\&=&\dfrac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}\\&=&\sqrt{\dfrac{a+b+c}{2}\cdot\dfrac{-a+b+c}{2}\cdot\dfrac{a-b+c}{2}\cdot\dfrac{a+b-c}{2}}\\&=&\sqrt{\dfrac{a+b+c}{2}\left(\dfrac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\dfrac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\dfrac{a+b+c}{2}-c\right)}\\&=&\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\end{array}$
以上より,
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ , ただし, $s=\dfrac{a+b+c}{2}$

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