高校数学：定期テスト対策：期待値と分散

2025年3月23日

こんにちは。期待値と分散についてやっていきましょう。

問題

2本の当たりくじを含む6本のくじがある。この中から2本のくじを引き, 当たりくじの本数を確認して元に戻す。次の問いに答えよ。
(1) この試行を1回行ったとき, あたりが1本である確率を求めよ。
(2) この試行を1回行ったときのあたりの本数を $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求めよ。
(3) $X$ の期待値と分散を求めよ。
(4) この試行を3回繰り返すとき, 当たりくじの本数の和の期待値と分散を求めよ。

解答・解説

【解答】
(1) $\dfrac{8}{15}$
(2)
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline X&0&1&2&total \\ \hline P&\dfrac{6}{15}&\dfrac{8}{15}&\dfrac{1}{15}&1\\ \hline\end{array}$
(3)
期待値 $\dfrac23$ , 分散 $\dfrac{16}{45}$
(4)
期待値 $2$ , 分散 $\dfrac{16}{15}$

【解説】
(3)
期待値 $E(X)$
$E(X)=\dfrac{6}{15}\times0+\dfrac{8}{15}\times1+\dfrac{1}{15}\times2=\dfrac23$
分散 $V(X)$
$\begin{array}{lll}V(X)&=&\dfrac{6}{15}\times0^2+\dfrac{8}{15}\times1^2+\dfrac{1}{15}\times2^2-\left(\dfrac23\right)^2\\&=&\dfrac{4}{5}-\dfrac49\\&=&\dfrac{16}{45}\\\end{array}$
(4)
期待値 $=3E(X)=2$
分散 $=3V(X)=\dfrac{16}{15}$

問題

解答・解説

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