TikZ：R7年度：第1回基礎学力テスト数学(平面図形)解説

こんにちは。基礎学力テストお疲れ様でした。さて，平面図形の解説をしておきます。

平面図形

下の図で四角形ABCDは正方形である。辺BC上に点Eをとり，点Bから線分AEにひいた垂線と，線分AE，辺CDとの交点をそれぞれ点F，Gとする。さらに，点Aと点Gを結び，線分AGとする。次の(1)・(2)に答えなさい。

(1) $\sankaku{ABE}\equiv\sankaku{BCG}$ であることを証明しなさい。
(2) $\text{BE}=15\,\text{cm}$ ， $\text{EC}=5\,\text{cm}$ ， $\text{AE}=25\,\text{cm}$ のとき，次の $\maru1$ ・ $\maru2$ に答えなさい。
$\maru1$ $\text{BF}$ の長さを求めなさい。
$\maru2$ $\sankaku{BEF}$ の面積を求めなさい。

解答・解説

【解答】
(1) $\sankaku{ABE}$ と $\sankaku{BCG}$ で，
仮定より，
$\text{AB}=\text{BC}\cdots\maru1$
$\kaku{ABE}=\kaku{BCG}=90\Deg\cdots\maru2$
三角形の内角の関係より，
$\kaku{BAE}+\kaku{ABF}=90\Deg$
$\kaku{CBG}+\kaku{ABF}=90\Deg$
より，
$\kaku{BAE}=\kaku{CBG}\cdots\maru3$
$\maru1$ ， $\maru2$ ， $\maru3$ より，1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，
$\sankaku{ABE}\equiv\sankaku{BCG}$

(2) $\maru1$ $12\, \text{cm}$ ，　 $\maru2$ $54\, \text{cm}^2$

【解説】
(2) $\maru1$ 中3の10月のテストだということ，相似や三平方は未修という前提で解説すると，三角形の面積を用いて解くのが一般的です。この場合， $\sankaku{ABE}$ の面積に着目して，
$\text{AB}\times\text{BE}=\text{AE}\times\text{BF}$ 　 (面積を求めるための $\times\dfrac12$ は省略)
を利用する。
したがって，
$20\times15=25\times\text{BF}$
これを解いて， $\text{BF}=12$
(2) $\maru2$
【解法A】
EとGを結ぶ。

$\sankaku{BGE}$ は底辺15(BE)，高さ15(GC)の三角形で， $\maru1$ より， $\text{BF} : \text{FG}=12 : 13$ であるから， $\sankaku{BEF}$ は $\sankaku{BGE}$ の $\dfrac{12}{25}$ 倍。よって，求める三角形の面積 $S$ は，
$S=15\times15\times\dfrac12\times\dfrac{12}{25}=54\, \text{cm}^2$
【解法B】
$\sankaku{ABG}$ の面積を求めると，底辺AB，高さBCなので，
$20\times20\times\dfrac12=200$
ここで， $\sankaku{ABG}$ の面積考えるとき，底辺を $\text{BG}=25$ ，高さAFとすると，
$25\times\text{AF}\times\dfrac12=200$
が成り立ち，これを解いて，
$\text{AF}=16$
これより，EFの長さは $\text{AE}-\text{AF}$ なので，
$\text{EF}=25-16=9$
よって求める面積 $S$ は
$S=12\times9\times\dfrac12=54\, \text{cm}^2$

平面図形

解答・解説

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