高校数学：a,bが整数ならばa≦b⇔a＜b+1の証明と問題

こんにちは。今回の考え方はよく出てくるところなので，使いこなせるようにしておきましょう。証明の後は問題を用意してますので，解いてみてください。

問

【問】 $a$ ， $b$ が整数のとき， $a\leqq b\iff a<b+1$ を証明せよ。

証明

【証明】
$a\leqq b\implies a<b+1$ の証明
$b-a\geqq0\cdots\maru1$
$(b+1)-a=(b-a)+1\cdots\maru2$
$\maru1$ より， $\maru2$ は，
$(b-a)+1\geqq0+1=1>0$
つまり，
$b-a+1>0$
よって，
$a<b+1\cdots$ (証明終)

$a<b+1\implies a\leqq b$ の証明
$a-b<1$
$a$ ， $b$ は整数だから，つまりこれは，
$a-b\leqq0$
よって，
$a\leqq b\cdots$ (証明終)

以上より，
$a\leqq b\iff a<b+1$

問題

1つのさいころを4回投げて，1回目に出た目を $a$ ，2回目に出た目を $b$ ，3回目に出た目を $c$ ，4回目に出た目を $d$ とするとき， $a\leqq b\leqq c\leqq d$ となる目の出方は何通りあるか。

解答・解説

【解答】
126通り
【解説】
$a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ は整数なので，
$a\leqq b\iff a<b+1$ ， $b\leqq c\iff b<c+1$ ， $c\leqq d\iff c<d+1$
これより，
$a<b+1<c+2<d+3$ となる。 $\cdots\maru1$
また，
$1\leqq a\leqq b\leqq c\leqq d\leqq6$ であり， $\maru1$ よりこれは，
$1\leqq a<b+1<c+2<d+3\leqq9$ と変形でき，
これは1～9の整数の中から4つ選んで，小さい順に， $a$ ， $b+1$ ， $c+2$ ， $d+3$ とすればよいので，求める場合の数は，
$_9\text{C}_4=\dfrac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=126$ (通り)

問

証明

問題

解答・解説

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